形式的定義 定理 問題 $`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\hyp}{\text{－} } \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\In}{\text{ in } } \newcommand{\ie}{\text{i.e. }\: } \require{color} % 緑色 \newcommand{\Keyword}[1]{ \textcol…

次の2つのタイプの発言を考える。 ～ は成立するぞ。 ～ は成立しないぞ。 「～」の部分は、等式・不等式などの命題。構文をキチンと約束すれば「～」の部分は論理式だとしてよい。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}`$発言の定式化〈数理モデリング〉とし…

全称限量子が関数と思えないのはなぜか？ 「限量子が関数なわけない」という思い込みもあるだろうが、独特な呼び名と書き方が大きな原因だろう。呼び名・書き方は習慣・伝統だから変えられない。が、個人・集団内で、一時的に変えるのは自由だ。フルスペルで…

ブール値関数の基礎事項をまとめる。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\hyp}{\text{－} } \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\In}{\text{ in } } \require{color} % 緑色 \newcommand{\Keyword}[1]{ \textcolor{green}{\text{#1}} …

どんな分野でも固有の歴史と文化があるから、分野固有の用語を変えることは（ほぼ）出来ない。が、翻訳することはできる。以下、ブール値とは、「true としての 1 または false としての 0」のこと。 論理の方言 普通の言い方 述語〈predicate〉 ブール値の…

ほんとに基本的なんだけど、納得も利用もなかなかに難しいようだ。が、ほんとに基本的なんだから納得してくれ。ほんとに基本的な同型による対応は、場合により同一視に使われる。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newc…

古典論理の「ならば」を誤解・曲解したままで、「ならば」を使えない／間違える人は多い。「前件（$`\Rightarrow`$ の左側）が偽なら含意命題は真」というところがカナメ。$`\Rightarrow`$ は演算記号で関係記号ではない。のだが、関係記号としてもオーバー…

有限集合だけを考える。 $`A = \{a_1, a_2, a_3\}`$ $`B = \{b_1, b_2\}`$ $`C = \{c_1, c_2\}`$ $`A`$ を次のように描く、$`B, C`$ も同様。 関数も関係も集合だと思えば列挙可能。有限集合の世界では、あらゆるものが具体的に列挙可能。 関数は逆関数が作…

(仮名)アルファさんの図法は、ちょっと衝撃的だった。「こだわりのなさ」に驚いた。アルファ図法のアイディアをまとめておく。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\u}[1]…

(仮名)アルファさんの発想が面白い。本人のなかでは一貫している（飛躍がない）のかも知れない。「教わったとおりにやった」だけかも知れない。檜山が言ったであろうこと（あまり憶えてないが絶対言いそう）： 無限集合は難しいから最初は有限集合で考えたほ…

スパイダー〈デルタ〉を持つテンソル計算系では、スパイダー定理が成り立つ。あるいは、スパイダー定理の主張を公理として要請する。スパイダー定理は包括的な主張だが、より具体的な事例はいくらでも自分で作れるだろう。many spiders が2匹、3匹のときの簡…

[含意問題] 含意と論理順序が混同されており、その混同が常態化している。 [メタ問題] オブジェクトレベルとメタレベルの区別、命題と判断〈メタ命題〉の区別や使用法が難しい。 [イコール問題 1] イコール記号が等値じゃなくても使われる。やめさせたいが、…

我々（人類）は、名付けと名前解釈の問題で悩み続ける宿命なのだろう。我々は、直示（名付けによらない直接指示）コミュニケーションが特別な（同じ絵を見ていて、指差し可能とかの）場合しか出来ないから、名付け・名指しを避けられない。名指しによらない…

中身が同じでも、所属組織や肩書きが変われば違うモノ 「同じだけど違う」「違うけど同じ」に慣れるのは、どうも非常に難しいらしく、慣れるまでに何年もかかるかも知れない。 射〈morphism〉： 1-in 1-out 複射〈multimorphism〉： n-in 1-out (n = 0, 1, 2…

「慣れる」とは、いちいち考えなくても自然に反応できるようになること。サッカーで例えるなら、ボールに慣れるためにリフティング練習やトラップの練習を繰り返す。「慣れる」トレーニングは単純作業的になるのは致し方ない。基礎動作の反復練習とはそうい…

色々と紆余曲折・右往左往は忘れて結果だけまとめれば、出現する概念は少数で、後から見れば当たり前だったりする。 テーブルスキーマに相当する集合のリストを考える。 集合の直積を作る。 その直積の部分集合を考える。 部分集合と述語（ブール値の関数）…

$`\require{color} %\newcommand{\Imp}{\Rightarrow} % --- \newcommand{\In}{ \text{ in }} %\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1} } %\newcommand{\id}{\mathrm{id} } %\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow} \newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } %\newcomman…

マイルドな（心理的拒絶感が少ない）例：$`A \subseteq \mathrm{Pow}(X)`$ とする。すると、$`\mathrm{id}_A : A \to A`$ は恒等写像。ところで、$`A \subseteq \mathrm{Pow}(X)`$ だったので、$`\mathrm{id'}_A : A \to \mathrm{Pow}(X)`$ とみなせる。この…

個体→社会 軍隊アリが一匹：*1アリの個体を観察することにも意味はあるだろう。軍隊アリの大群： *2しかし軍隊アリは、集団・社会としての行動が脅威。個体だけでなく集団・社会も観察したい。 個体→増強された個体 ドラゴン： *3ドラゴン、強そう、恐ろしそ…

関数 $`f:{\bf R} \to {\bf R}`$ の連続性は、高校あたりだと点列連続性で定義していると思うし、それで十分だろう。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} } %`$実数の点列とは、$`a:{\bf N} \to {\bf R}`$ という関数。その全体は $`\mrm{Map}({\bf N}, {\bf…

次の命題を考える（証明はしない）。$`\quad \forall x\in {\bf R}.\exists n\in {\bf Z}. n \le x \lt n + 1`$もしこれが成立するなら、実数を整数部と小数部に分けることができる。$`\quad x = n + r \text{ where } n\in{\bf Z} \land 0\le r \lt 1`$ちゃ…

考えるてみること： 命題を支えている前提 その前提を弱めてみる 命題（性質）の肯定的例（正例）と否定的例（反例） 内容： 定義と否定的例 例1 無限大追加の正自然数 例2 正自然数の直積 例3 正自然数の掛け算 例4 三元の順序可換半群 解釈 例1から分かる…

指標に関しては、「指標と不完全インスタンス」の最初の2節を参照。抽象的な概念を簡潔・正確に伝達するには指標が便利。無限ホテルのような構造の抽象的定式化として Successor という名前の指標を定義する。この指標は、構成素名〈役割ラベル〉として s と…

「ピンとこない」「自分の直感に反する」「つかみどころがない」「意味がハッキリしない」などの感覚を持つ理由のかなりところ（大部分かも知れない）は、 具体的な作業をした経験がない このようなとき、「具体的な作業をしなさい〈get your hands dirty〉…

※ この記事は、清書して「ストリング図と相性が良いテンソル計算 2/2」の続きの記事にするかもしれない（しないかも知れない）。テンソル計算のストリング図で次のように輪〈ループ〉を作ると、それはトレース〈対角和〉になる。$`\newcommand{\I}{\mathrm{I…

「単項式関手のあいだのホムセット」より：これは、ある種のレンズ（レンズの変種は山ほどある）の圏と単項式の圏のあいだの関係を示している。単項式の圏とは、対象を単項式だけに絞った多項式の圏の部分圏。アルファベット順がおかしくなるが、行きがかり…

ダイアグラム・チェイシング（図式に沿った要素の追跡）の代わりに、集合のあいだの同型を使う。記法を簡単にするために、 のホムセットをブラケットで 、集合圏の内部ホム〈指数 | 関数集合 | アロー型〉をベキ〈累乗〉形式 で書く。まず、集合圏の指数法則…

ある文脈では、「射影」は直積の射影ではなく全射でさえない写像を意味する。つまり、「射影」と「写像」は同義語。こういう“文脈”をどうしたら（ある程度）形式化できるだろうか？内容： 記述方法 ファミリー ファミリー： 無共分ファミリー： ファミリー →…

テクニカルタームであっても命名体系〈nomenclature | naming schema〉はほとんど常に腐る。同義語／多義語で錯綜する。well-trained person なら錯綜を整理するのだ。同義・多義を見抜くスキルが必要だから trained じゃないと出来ない。 フォントによる識…

圏のなかの「すごく特別な対象」として始対象と終対象がある（init, termと略称する）。モノイド圏だと単位対象もすごく特別（unitと略称）。これらの特別な対象は一意に決まるとは限らないが、一個だけ選択〈select | choice | distinguish〉して、the init…