基本スキルの確認と練習 (G2 A6P3, C A7P3) - (2nd) 檜山正幸のキマイラ飼育記

※ この練習問題は、前期、および今期の2つのセミナー（論理と圏論）に共通なので、一度やったことがあればやる必要はない。予備知識は特に要求しない。どの時点でやってもかまわないが、早めにやればそれだけ効果的。

ただし、この練習問題を全部やる必要はない。問題文を眺めて、「やったほうがいい」と判断したら選択的にやる。「分かった」と思ったらやめる。分かっていることを繰り返しやっても時間の無駄。

こ記事のテーマは、記号の取り扱いに十分に慣れること。我々は、様々な記号を操作し、その記号／操作の意味を考えなくてはならない。操作の対象物である記号を自由に操れる技量が必要になる。トレーニングしよう。

既に知っている／出来る問題はスキップしてよい。多くの人が知らない（であろう）事や、やったことがない（であろう）練習問題も含まれる。

※ 練習問題の解答は「解答：基本スキルの確認と練習 (G2 A7R3, C A8R3)」にあります。

内容：

記法の多様性への対応能力のトレーニング
演算子の書き方を変更する練習
書字方向／描画方向の多様性への対応能力のトレーニング
関数の直積、id, dup, swap
セクション記法とポイントフリースタイル
結合の記号を取り替える

記法の多様性への対応能力のトレーニング

「書き方〈記法〉が変わると分からなくなってしまう」と感じる方は、次の“バカバカしくも手間がかかる練習”を、一度は愚直にやってみることをオススメする。ただし、「いくら何でももういいだろう」と思えばやめてよい。

記法の多様性への対応に問題がない方は、この手間のかかるトレーニングをあえてやる必要はない。

リスト（何かを並べたモノ）の書き方は多様である。書き方が変われば意味が変わる場合もあるが、意味が変わらないこともある。以下の72種の書き方は、違う意味で使われるかもしれないし、同じ意味で使われるかもしれない。

横方向に書く書き方 36種

囲み括弧 4種：丸括弧〈小括弧〉, 角括弧〈大括弧〉, 波括弧〈中括弧〉, 括弧なし
区切り記号 3種：カンマ, 縦棒, なし（空白）
インデックスの記法 3種：下付き添字, 角括弧, 丸括弧

例： (x₁, x₂, ..., x_n), {x[0], x[1], ... x[n-1]}, (x(1) x(2) ... x(n)), (x₁ | x₂ | ... | x_n)

縦方向に書く書き方 9種

囲み括弧 3種：（縦長の）丸括弧, （縦長の）角括弧, 括弧なし
区切り記号 1種：なし
インデックスの記法 3種：下付き添字, 角括弧, 丸括弧

方向に無関係な書き方 27種

囲み括弧 3種：丸括弧, 角括弧, 波括弧
インデックスの記法 3種：下付き添字, 角括弧, 丸括弧
インデックスの範囲指定 3種：縦棒の左側にインデックス集合, 縦棒の右側にインデックス集合, 右下に小さくインデックス集合

問題 1：以下は、リストをあるひとつの書き方で書いたものである。同じ（あるいは対応すると思われる）リストを、残り71種の書き方で書け。n..m は整数の区間で n..m := {k∈Z | n ≦ k ≦ m} である。列挙しない書き方（方向に無関係な書き方）の場合、動くインデックスを表す変数は適当に選んでよい。

(a₁, a₂, a₃, a₄, a₅)
{X[i]}_i∈{1,2,3}
[A[1] | A[2] | A[3]]
(δ(x) | x∈1..4)
[k∈0..2 | Ψ_k + Θ_k]
u₁, u₂, ..., u_n

演算子の書き方を変更する練習

これも、「書き方〈記法〉が変わると分からなくなってしまう」と感じる方のための練習。中置、前置、後置の演算子の使い方に慣れていれば、このトレーニングをあえてやる必要はない。

演算子／関数に、様々な書き方があるのは、習慣と視認性だけの理由。理論的にはすべて一緒。fが関数／演算子を表し、xとyがそれへの入力を表す。

中置方式
- 標準的な中置方式 xfy
- 左右下付き方式 _xf_y
前置方式
- 純ポーランド方式（区切り記号／囲み記号なし） fxy
- 標準的な関数呼び出し方式＝タプル・ポーランド方式 f(x, y)
後置方式
- 純・逆ポーランド方式（区切り記号／囲み記号なし） xyf
- タプル逆ポーランド方式 (x, y)f
特殊配置方式演算子記号を使わずに位置関係で示す
- 左右併置方式 xy
- 右上付き方式 x^y
- 右下付き方式 x_y
- 左上付き方式 ^xy
- 左下付き方式 _xy
括弧方式
- 全体を囲む方式
  - 単一引数を囲む (x)
  - 複数引数を左右配置 (x, y)
  - 複数引数を上下配置書けない
- 片一方を囲む方式
  - 右を囲む x(y)
  - 左を囲む (x)y

意味はすべて一緒、何の違いもない、書き方の違いに惑わされるな！

特殊配置 → 中置

ab
aabbb
a²b³
a^2x
c^{b^a} （TeXでレンダリングなら： $c^{b^a}$ ）
x²y² + 2xy
ax² + bx + c
e^{x² + y²}

前置、後置

問題 3：前問と同じ式を、純ポーランド記法に書き換えよ。次の表に従え。

中置二項演算子	前置演算子（の名前）
+	A
×	M
^	E

問題 4：同様に、純・逆ポーランド記法に書き換えよ。

関数呼び出し

問題 5：前々問と同じ式を、関数呼び出し方式〈タプル・ポーランド記法〉だけの式に書き換えよ。次の表に従え。

中置二項演算子	関数名
+	sum
×	prod
^	pow

関数呼び出し → 色々

問題 6：関数 foo, bar, baz, hoge, piyo の呼び出しを次の演算子を使った演算子記法に直せ。

foo(x, y) = x◆y
bar(x, y) = (x | y)
baz(x) = x$
hoge(x, y) = (x)_y
piyo(x) = 《x》

演算子の優先順位は：

強：《x》, x$
中： (x)_y, (x | y)
弱： ◆

以下に関数呼び出し記法の式（等式もある）。

foo(1, piyo(3))
piyo(foo(hoge(a, b), baz(bar(s, t))))
hoge(hoge(a, b), c)
hoge(a, hoge(b, c))
foo(foo(a, b), c)
foo(a, foo(b, c))
foo(foo(a, b), c) = foo(a, foo(b, c))
piyo(piyo(x)) = piyo(x)
bar(x, y) = -bar(y, x)
piyo(baz(w)) = w

書字方向／描画方向の多様性への対応能力のトレーニング

圏論でも数理論理学でも、縦方向のテキスト・図が多用される。書字方向／描画方向の多様性に戸惑う人は多い。縦方向の書字・描画に慣れる必要がある。

どうしてこのようなトレーニングが必要なのかは、次の記事を参照。

双対や随伴に強くなるためのトレーニング
絵算（ストリング図）における池袋駅問題の真相
絵算の描画方向を示すために旗を使うことにした
記法バイアスと記法独立な把握：順序随伴を例として
※ 序文〈リード文〉と、1, 2, 9節だけ読めばよい（中間は飛ばしてよい）。

書字方向／描画方向の多様性への対応に問題がない方は、このトレーニングをあえてやる必要はない。*1

次は連立不等式である。

x + y ≦ 7
x - y < 3

ひとつの不等式は左から右に書く。この方向を「不等式の方向」と呼ぶことにする。複数の不等式は上から下に並べる。この方向を「併置の方向」と呼ぶことにする。

不等式の方向（不等式を書く方向）を変えると：

方向→
  x + y ≦ 7

方向←
  7 ≧ y  +  x

方向↓
  x
  +
  y
‖∧
  7

方向↑
  7
 ∨‖
  y
  +
  x

併置の方向（不等式を並べる方向）も同様に ↓, ↑, →, ← がある。不等式の方向と併置の方向の組み合わせの可能性は、→↓, →↑, ←↓, ←↑, ↓→, ↓←, ↑→, ↓← の8種がある。

問題 7：最初の連立不等式をすべての方向（8種）で書け。また、以下の連立不等式も同様に、すべての方向で書け。

x + 3 ≦ 15
x ≧ 1
x + y < 3

x + y + z > 0
x² + y² + z² ≦ 1
z ≧ 0

関数の直積、id, dup, swap

※ もとの記事（2018年）は、続きもの練習問題のひとつだったので、前の問題の知識を仮定していた。その前提知識をこの節で追加する。

A, B, C, D を集合、f:A→B, g:C→D を関数〈写像〉とする。関数fと関数gの直積 f×g:A×C→B×D を次のように定義する。

(f×g)(a, c) := (f(a), g(c))

記号「×」を、数の掛け算と集合の直積でオーバーロードしていた事情から、例えば f:A→R, g:A→R に対して、

(f×g)(a) := f(a)×g(a) （右辺の「×」はRの掛け算）

と定義することもある。これは、異なる文脈での記号「×」のコンフリクトで、（頻繁に起きる）しょうがない事態だが、関数の直積を「 $\otimes$ 」で表すこともある。つまり、

(f $\otimes$ g)(a, c) := (f(a), g(c))

「×」を使うか「 $\otimes$ 」を使うかは、コンフリクトを気にしないか／気にするかだけの違い、恣意的、好きにして。

集合 A, B に対して、id, dup, swap を次のように定義する。

id_A:A→A
id_A(a) := a
dup_A:A→A×A
dup_A(a) := (a, a)
swap_A:A×A→A×A
swap_A(a, b) := (b, a)

下付き添字のAは省略することがある（当然に不正確になるが、書き方はたいていイイカゲン）。

セクション記法とポイントフリースタイル

中置演算子 + , × などに対して、対応する関数名を準備することがある。例えば：

sum(x, y) = x + y
prod(x, y) = x×y

しかし、新しい名前を決めるのがめんどうなので、記号 +, × をそのまま使い、

(+)(x, y) = x + y
(×)(x, y) = x×y

とすることがある。つまり、「中置演算子を丸括弧で囲むと関数名として前置で使える」というルールである。(+1), (3×) などは次の意味で使う。

(+1)(x) = x + 1
(3×)(x) = 3×x

このルールは、ポイントフリースタイル（下の補足参照）のときに威力を発揮する。f(x, y, z) = ((x + y)×z)/5 という関数をポイントフリーで書くと：

f = ((+) $\otimes$ id);(×);(/5)

次の図も参照。

x  y    z
---- +  -- id
 x+y    z
 --------- ×
  (x+y)×z
  ------------- /5
  ((x+y)×z)/5

(+), (+1), (3×) のような書き方をセクション記法という（プログラミング言語Haskellの書き方）。

問題 8：次の関数定義を、中置演算子 +, × からのセクション記法を使ったポイントフリースタイルで書け。id（何もしない）、dup（複製する）、swap（入れ替える）関数は使ってよい。もちろん、結合〈直列結合〉記号 ; と直積〈並列結合〉記号 $\otimes$ も使う。式は変形せずにそのまま、書き方を変えるだけ。

f(x) = x²
f(x) = x² + 10
f(x) = x² + 5x + 10
f(x, y) = 2x + 3y + 1
f(x, y) = x² + xy
f(x, y, z) = z² + (2x + 3y + 1)z

セクション記法は、中置二項演算子記号を関数名のように扱うためのものだが、前置単項演算子記号、後置単項演算子記号にも使ってみよう。

以下の式に登場する -（マイナス記号）は引き算ではなくて反数〈opposite〉を取る（符号を反転する）演算子だとする。後置の !（感嘆符）は階乗を意味する。

3! = 3×2×1 = 6

単項演算子記号であるマイナス記号、感嘆符にもセクション記法が使えるとする。

(-)(5) = -5
(!)(3) = 3!

問題 9：次の関数定義を、セクション記法を使ったポイントフリースタイルで書け。

f(x) = (x + 1)!
f(x) = (x + 1)! + x! + (x + -1)!
f(x, y) = x! + -y
f(x, y) = (x + -y)!
f(x, y) = x!×y!
f(x, y, z) = x!(y + -1)!(z + -2)!

[補足]
「ポイントフリー」はプログラミングで使われ始めた言葉。ここでの「ポイント」は集合の要素、「フリー」は「頼らない、使わない」の意味。つまり、「ポイントフリースタイル」は「集合の要素を使わない（書き方の）スタイル」となる。

圏論では、対象が集合のときでさえ、要素を使うのを避けるので、ポイントフリースタイルは圏論ととても相性がよい。要素を使わないということは、式や関数定義内で変数を使うことはできなくなる。変数は「なんらかの要素」を表すから。

したがって、ポイントフリースタイルでは、関数と関数の結合〈合成〉だけを使って式や関数定義を書く。結合以外に、関数の直積、関数のペアリングなどを使うこともある（今は詳しくは述べない）。
[/補足]

結合の記号を取り替える

記号の意味を強く固定せずに、柔軟に運用することが重要である。セクション記法を使ったポイントフリースタイル式では、もともと在った演算子記号は（セクション記法になって）残る。さらに、関数の結合〈直列結合〉の演算子記号 ; と直積〈並列結合〉の演算子記号 $\otimes$ が含まれる式になる。例： ((+) $\otimes$ id);(×);(/5)

もともとの演算子記号が ;, $\otimes$ , $\oplus$ のとき、これをセクション記法を使ったポイントフリースタイル式に直そうと思うと、演算子記号がかち合う*2。このような場合は、結合〈直列結合〉の演算子記号と直積〈並列結合〉の演算子記号を変更する。例えば：

結合〈直列結合〉の演算子記号は *
直積〈並列結合〉の演算子記号は $\odot$

問題 10：上記の演算子記号 *, $\odot$ を使って、次の関数定義をセクション記法を使ったポイントフリースタイルで書け。id, dup, swap は使ってよい。

f(x) = (x $\otimes$ x);x
F(x, y) = a $\otimes$ x $\oplus$ b $\otimes$ y
ξ(f, g, h) = f;(g $\otimes$ h) $\oplus$ f;G
g(x, y, z) = x;y;z $\oplus$ z $\otimes$ w
Ω(a, b, f, g) = a;(f $\oplus$ f) $\otimes$ (g $\oplus$ g);b
k(α, β, γ, δ, ε) = α;((β $\oplus$ β) $\otimes$ (γ $\oplus$ γ));(δ $\otimes$ δ);ε

記号の選択は、まったく恣意的・無根拠に行われるものである。記号の意味を強く固定するがマズイのは、このような恣意的・無根拠な変更に対する反応が出来にくくなるからである。次のように記号の選択をしたとして、

結合〈直列結合〉の演算子記号は |（縦棒）
直積〈並列結合〉の演算子記号は &（アンド記号）

すぐ上の問題を再度やってみよ。つまり、

問題 11：上記の演算子記号 |, & を使って、次の（上にある）関数定義をセクション記法を使ったポイントフリースタイルで書け。id, dup, swap は使ってよい。

くどいのだが、記号と意味の結び付きを柔軟に変更しながら対処する能力は、極めて重要なので、同様な練習をもうひとつ。

もともとの演算子記号が ;, $\otimes$ , $\oplus$ であるなら、通常の算術演算子 ×, + は使われてない。次のように約束する。

結合〈直列結合〉の演算子記号は × （掛け算記号）
直積〈並列結合〉の演算子記号は + （足し算記号）

問題 12：上記の演算子記号 ×, + を使って、上にある関数定義をセクション記法を使ったポイントフリースタイルで書け。id, dup, swap は使ってよい。

使える記号の数が足りないので、既によく使われている記号を、意味を変えて流用する（オーバーロードする）事態は頻繁に起きる。既存の意味をサッと忘れて、新しい意味ですぐさま使えるようになる必要がある。

*1:この種の能力は、音感や運動能力などと同様に、ある程度は先天的な能力らしい。檜山は先天的能力が極めて乏しくて、小学校3,4年まで「右向け右」とか「お箸を持つほうに体を向ける」と言い換えてからでないと反応できなかった。そのため、書字方向、描画方向の脳内変換には今でも苦労する。もちろん、トレーニングは欠かせない。それが「双対や随伴に強くなるためのトレーニング」に書いた紙ナプキン・トレーニング。

*2:丸括弧で囲まれた記号と裸の記号で区別できる、のは事実だが、それで区別するのは辛すぎる。