追憶のストーン双対

その他 uok

十数年前ははるかな過去、もはや記憶は霞んでいる。

ジャムボード

  1. ゲルファント・スペクトル／ゲルフォント双対 2分
  2. （もともとの）ストーン双対 3分
  3. 可換環の素スペクトルと極大スペクトル 3分
  4. スペクトルへの位相の入れ方 2分

以上で 10 分

過去のブログ記事：

  1. 古典論理は可換環論なんだよ【2006-10-28】
    乗法的ベキ等可換環のスペクトルとしてブール／ストーン空間の構成。この当時は、色々な方法で論理をやってみる、が好きだった。
  2. “古典論理＝可換環論”の計算と種明かし【2006-10-30】
    実際の計算。この当時はWebでTeX記法とか無理だったので、紙をスキャンした画像へのリンク。
  3. コンパクト空間と論理／モデル論【2005-12-07】
    その一年前、スペクトルを使えばいいと思いついたキッカケ。モデルの類〈プロパークラス〉のモジュライ空間をザリスキー位相で構成。
  4. 仕様技術への道 -- インスティチューションを縮めてみる【2005-12-08】
    さらにもとになった動機。仕様記述のため。この記事で「古典論理に限定すれば、論理的対象は標数2の体を基礎体とする環付き空間と思える。」と書いている。
  5. イデアルと論理 番外の補足：ベキ等元と連結性【2005-11-29】
    一年前のこの時点では、何本かの記事で少しずつ説明する心積もりだったらしい。

後日：

  1. 当方記事には過ぎた続編、よみがえる妄想 【2009-10-23 】
  2. 檜山もマジメな記事を書くことがあったのだな【2011-06-22 ハブ的な記事】

行ったり来たりして20分程度。

参照：

  1. Gelfand spectrum
  2. Gelfand duality
  3. Stone duality
    "A Stone space is by definition a totally disconnected compact Hausdorff topological space."
  4. 連結成分
    連結成分って開になるとは限らない、と「ベキ等元と連結性」にそう書いてあったが、忘れていたわ。

入り口の議論を少しだけ再現

\require{color}% \newcommand{\Keyword}[1]{\textcolor{green}{\mbox{#1}} }% \newcommand{\For }{\Keyword{For }}% \newcommand{\Assume}{\Keyword{Assume }}% \newcommand{\Then}{\Keyword{Then }}% \newcommand{\Therefor}{\Keyword{Therefor }}% \newcommand{\for }{\Keyword{ for }}% \newcommand{\forsuch }{\Keyword{ for such }}% \newcommand{\Impl }{\Rightarrow}%

  • AがMIなら標数2（加法的にもベキ等）

\For A \in |{\bf Rng}| \\ \Assume MI(A) \\ \Then (1 + x)^2 = 1 + x \for x\in A \\ \Then (1 + x)^2 = 1 + 3x \for x\in A \\ \Therefor 2x = x + x = 0 \for x\in A

  • AがMIな体なら二元

\For A \in |{\bf MICR}| \\ \Assume IsField(A) \\ \For x\in A, x \ne 0\\ \Then 1 - xx^{-1} = 0 \forsuch x \\ \Then x(1 - x x^{-1}) = 0 \\ \Therefor x = 1

  • Aが整域でも二元

\For A \in |{\bf MICR}| \\ \Assume IsIntDomain(A) \\ \For x\in A, x \ne 0 \land x \ne 1\\ \Then 1 - x \ne 0 \forsuch x \\ \Then x(1 -x) \ne 0 ゼロ因子はないから \\ \Then x - x \ne 0 矛盾 \\ \Therefor x \ne 0 \Impl x = 1\\

  • MICR では素スペクトルと極大スペクトルの差はない