口頭での説明が不十分だったので、誤解をまねくかも知れない。若干比喩も混じえてテレスコープ構成を説明する。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} …

自分の印象に残っていたロルの定理は、一般的なものではなくて、微分幾何の準備としての一変数関数の文脈で教わったものだったようだ。微分幾何に限らずほとんどの分野で、「微分できるが導関数は不連続」「内部では定義できるが、境界まで延長はできない」…

次を仮定する。$`\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\Iff}{ \Leftrightarrow } \newcommand{\Imp}{ \Rightarrow } `$ $`M \subseteq \mbf{R}`$ $`M\ne \emptyset`$ $`M`$ は有界 $`\alpha\in \mbf{R}`$ は $…

$`I`$ を開区間として、微分を線形写像 $`D:C^1(I)\to C^0(I)`$ と考える。 $`D`$ の“逆”が不定積分だ。 しかし、$`D`$ がほんとに可逆ってわけではない。 線形代数の知識から、商空間 $`C^1(I)/\mathrm{ker}(D)`$ を作れば、ほんとに可逆にできる。 となる…

述語論理は型理論のなかで展開できる。このとき、通常の（常識的な）論理の概念を型理論的概念に翻訳する。この翻訳に多くの人が戸惑う。$` \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}} \newcommand{\In}{ \text{ in } } \newcomm…

変数や戻り値の個数が2まで扱ったほうが見通しがよい。その後、n個の実数変数、m個の実数戻り値まで一般化するが。$` \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}}`$ 扱う関数 1実数変数、1実数戻り値のとき： 2実数変数、1実数戻…

$`\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1} } \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} } `$ リンク 焼畑農業式コミュニケーション - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 追記 ワンポイント説明： 双対空間と行列の転置 標準双対空間〈canonical dual space〉 双対ペ…

多様体〈連続〉と離散構造 多様体のアフィン線形近似や半代数近似で離散構造が得られる。 離散構造のほうが多少簡単で、計算機で扱える。 ベクトル場は離散構造に載りにくい。微分形式のほうが楽。 どっちが先？ どっちでもいいが、離散を先にする。 なんで…

小中学校・高校で習った、正比例関数、ベキ関数〈累乗関数〉、指数関数、対数関数は、いずれも群の準同型写像／同型写像である。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}} `$ 群と準同型写像 定義の簡略化：練習問題 大事な2…

多項式と多項式関数の関係をハッキリさせる問題を“ToThinkリスト”に入れておこう。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}} `$体加減乗除（ゼロ除算は除く）が自由にできて、常識的な計算法則を満たす代数系を体と呼ぶ。体の…

※ 閉区間を入れてもいいのだが、開区間が扱いやすいので開区間のみを考える。 ※ 用語・記号は 一次方程式と微積分の基本定理 - (2nd) 檜山正幸のキマイラ飼育記 と同じ。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\mbf}[1]{ \mathbf{#1} }`$復習$`…

一次方程式$`V, W`$ は有限次元とは限らないベクトル空間とする。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\mbf}[1]{ \mathbf{#1} } `$ $`f:V \to W`$ を線形写像、$`b\in W`$ として、次の形は $`x`$ を未知数とする一次方程式である。$`\quad f…