一次方程式
$`V, W`$ は有限次元とは限らないベクトル空間とする。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
\newcommand{\mbf}[1]{ \mathbf{#1} }
`$
$`f:V \to W`$ を線形写像、$`b\in W`$ として、次の形は $`x`$ を未知数とする一次方程式である。
$`\quad f(x) = b`$
$`b = 0`$ なら必ず解があるが（$`0`$ は解）、一般の一次方程式に解があるとは限らない。解の存在条件は：
$`\quad b \in \mrm{Img}(f)`$
一次方程式に（少なくとも1つの）解があるとして、その1つを $`a\in V`$ とする。一次方程式の解空間（解全体の集合） $`S\subseteq V`$ は次の形に書ける。
$`\quad S = a + \mrm{Ker}(f)`$
ここでのプラス記号は次の意味で使っている。
$`\quad a + \mrm{Ker}(f) := \{x \in V\mid \exists y\in \mrm{Kef}(f).\, x = a + y \}`$
解空間 $`S`$ は $`V`$ の部分ベクトル空間とは限らないが、$`-a`$ を足してゼロベクトルを含むように移動した $`-a + S`$ は部分ベクトル空間になる。それは $`\mrm{Ker}(f)`$ である。
$`\quad \mrm{Ker}(f) = -a + S`$
微積分の基本定理
$`I`$ を $`\mbf{R}`$ 内の開区間（無限区間でもよい）とする。$`I`$ 上の連続関数の全体を $`C(I)`$ 、微分可能で導関数が連続である関数の全体を $`C^1(I)`$ と書く。$`C(I)`$ も $`C^1(I)`$ も、関数の足し算とスカラー倍により（無限次元の）ベクトル空間となる。
$`D : C^1(I) \to C(I)`$ を微分作用素とする。$`D`$ は線形写像になる。$`f`$ を未知数とする一次方程式を考える。
$`\quad D(f) = g`$
解の存在条件は：
$`\quad g \in \mrm{Img}(D)`$
もし、$`\mrm{Img}(D) = C(I)`$ ならば、$`g`$ がなんであっても解が存在する。$`\mrm{Img}(D) = C(I)`$ を言い換えると：
- 任意の連続関数は、微分可能関数の導関数になっている。
上記命題は成立するが、解の存在条件として重要である。
前節の一般論から、一次方程式に（少なくとも1つの）解があるとして、その1つを $`G\in C^1(I)`$ とする。一次方程式の解空間（解全体の集合） $`S\subseteq C^1(I)`$ は次の形に書ける。
$`\quad S = G + \mrm{Ker}(D)`$
次は知られている。
- $`\mrm{Ker}(D)`$ は1次元ベクトル空間であり、その要素は定数関数である。
言い方を変えると：
- 一次方程式 $`D(f) = g`$ の解は存在する。その解（原始関数とも呼ぶ）の1つを $`G`$ （つまり $`D(G) = g`$）とすると、解空間は $`G`$ （原始関数の1つ）と定数関数の和の全体となる。
