呼び名・書き方の違いは無視する!

全称限量子が関数と思えないのはなぜか? 「限量子が関数なわけない」という思い込みもあるだろうが、独特な呼び名と書き方が大きな原因だろう。呼び名・書き方は習慣・伝統だから変えられない。が、個人・集団内で、一時的に変えるのは自由だ。フルスペルで…

ブール値関数の基礎事項

ブール値関数の基礎事項をまとめる。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\hyp}{\text{-} } \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\In}{\text{ in } } \require{color} % 緑色 \newcommand{\Keyword}[1]{ \textcolor{green}{\text{#1}} …

論理の方言

どんな分野でも固有の歴史と文化があるから、分野固有の用語を変えることは(ほぼ)出来ない。が、翻訳することはできる。以下、ブール値とは、「true としての 1 または false としての 0」のこと。 論理の方言 普通の言い方 述語〈predicate〉 ブール値の…

ほんとに基本的な同型

ほんとに基本的なんだけど、納得も利用もなかなかに難しいようだ。が、ほんとに基本的なんだから納得してくれ。ほんとに基本的な同型による対応は、場合により同一視に使われる。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newc…

「ならば」問題の対処法

古典論理の「ならば」を誤解・曲解したままで、「ならば」を使えない/間違える人は多い。「前件($`\Rightarrow`$ の左側)が偽なら含意命題は真」というところがカナメ。$`\Rightarrow`$ は演算記号で関係記号ではない。のだが、関係記号としてもオーバー…

アルファ図法/V字論法と列挙確認

有限集合だけを考える。 $`A = \{a_1, a_2, a_3\}`$ $`B = \{b_1, b_2\}`$ $`C = \{c_1, c_2\}`$ $`A`$ を次のように描く、$`B, C`$ も同様。 関数も関係も集合だと思えば列挙可能。有限集合の世界では、あらゆるものが具体的に列挙可能。 関数は逆関数が作…

アルファさんのn点形とn点折れ線

(仮名)アルファさんの図法は、ちょっと衝撃的だった。「こだわりのなさ」に驚いた。アルファ図法のアイディアをまとめておく。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\u}[1]…

ノート見開き(ペラ一枚表裏)で某アルファ氏の発想

(仮名)アルファさんの発想が面白い。本人のなかでは一貫している(飛躍がない)のかも知れない。「教わったとおりにやった」だけかも知れない。檜山が言ったであろうこと(あまり憶えてないが絶対言いそう): 無限集合は難しいから最初は有限集合で考えたほ…

ノート見開き(ペラ一枚表裏)でスパイダー定理

スパイダー〈デルタ〉を持つテンソル計算系では、スパイダー定理が成り立つ。あるいは、スパイダー定理の主張を公理として要請する。スパイダー定理は包括的な主張だが、より具体的な事例はいくらでも自分で作れるだろう。many spiders が2匹、3匹のときの簡…

ほんとに困っている問題と対策

[含意問題] 含意と論理順序が混同されており、その混同が常態化している。 [メタ問題] オブジェクトレベルとメタレベルの区別、命題と判断〈メタ命題〉の区別や使用法が難しい。 [イコール問題 1] イコール記号が等値じゃなくても使われる。やめさせたいが、…

関数と名前と主観位置の問題

我々(人類)は、名付けと名前解釈の問題で悩み続ける宿命なのだろう。我々は、直示(名付けによらない直接指示)コミュニケーションが特別な(同じ絵を見ていて、指差し可能とかの)場合しか出来ないから、名付け・名指しを避けられない。名指しによらない…

ノート見開き(ペラ一枚表裏)で☓☓☓射

中身が同じでも、所属組織や肩書きが変われば違うモノ 「同じだけど違う」「違うけど同じ」に慣れるのは、どうも非常に難しいらしく、慣れるまでに何年もかかるかも知れない。 射〈morphism〉: 1-in 1-out 複射〈multimorphism〉: n-in 1-out (n = 0, 1, 2…

ノート見開き(ペラ一枚表裏)で慣れる練習

「慣れる」とは、いちいち考えなくても自然に反応できるようになること。サッカーで例えるなら、ボールに慣れるためにリフティング練習やトラップの練習を繰り返す。「慣れる」トレーニングは単純作業的になるのは致し方ない。基礎動作の反復練習とはそうい…

ノート見開き(ペラ一枚表裏)まとめ

色々と紆余曲折・右往左往は忘れて結果だけまとめれば、出現する概念は少数で、後から見れば当たり前だったりする。 テーブルスキーマに相当する集合のリストを考える。 集合の直積を作る。 その直積の部分集合を考える。 部分集合と述語(ブール値の関数)…

トピック 7: 基数の算術と集合の算術

有限集合に限定すれば、集合 $`A`$ の基数 $`\newcommand{\card}{\mathrm{card} }\card(A)`$ は自然数だとしてよい。 足し算: $`\card(A + B) = \card(A) + \card(B)`$ 掛け算: $`\card(A \times B) = \card(A)\times \card(B)`$ 累乗〈指数〉: $`\card(B…

デルタテンソルの定義

$`\require{color} %\newcommand{\Imp}{\Rightarrow} % --- \newcommand{\In}{ \text{ in }} %\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1} } %\newcommand{\id}{\mathrm{id} } %\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow} \newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } %\newcomman…

絵の描き方 4: テンソルの縮約

「絵の描き方 3: 行列の掛け算」の続き、テンソルは主にブーリアン係数。ストリング図: 左から右に向きを付けているが、実際は向きは不要。https://tensornetwork.org/diagrams/ が向き無しのテンソルなので、参照するとよい。 ストランド図: 赤いグニョ…

絵の描き方 3: 行列の掛け算

ストリング図: 行列の掛け算は反図式順なので、右から左に描いてみた。 行列の掛け算: $`a\in X`$ と $`c\in Z`$ を固定して、$`h`$ の $`c`$行$`a`$列成分 $`h(c\leftarrow a) = h_a^c`$ を計算する。 赤いグニョグニョ矢印に沿って、$`y\in Y`$ を同時並…

絵の描き方 2: 基本の描画法

「絵の描き方」の続き、あるいは詳細化。絵の実例を付ける。いつも思うのだが、 なんで描かないの? ベン図が基本: 集合はひろがり 要素は一点 風船図: 集合(ひろがり)がいくつか集まっている。 “集まり方”は、直和もあれば、合併もある。 集まりのメン…

トピック 6: 累乗、順列、階乗

$`X, Y`$ を集合として、次のような記法を使う。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} }`$ $`\mrm{Map}(X, Y)`$ : $`X`$ から $`Y`$ へのすべての写像の集合 $`\mrm{InjMap}(X, Y)`$ : $`X`$ から $`Y`$ へのすべての単射写像の集合 $`\mrm{BijMap}(X, Y)`$…

絵の描き方

抽象的な概念に対してメンタルモデルを作るには、絵を描いたり簡単で親しみやすい事例を見つけたりする。現在の数学における概念的事物は、集合と写像から構成されるから、集合と写像を絵に描く技法は重要。とはいえ、特に変わったやり方があるわけでもなく…

置換、リネーム、アルファ変換

この記事は書きかけ、書き上がったら本編に投稿してここからは削除。モノ達を1:1に置き換えることが置換です。モノが名前だとすれば、置換は名前達をリネームすることになります。項・式のなかに登場する名前達を系統的にリネームすることがアルファ変換で…

トピック 5

トピック 4 の続き。直積による$`r`$乗は関数集合〈function set〉だと思ってよい。$`\newcommand{mrm}[1]{\mathrm{#1}}`$$`X \times \cdots \times X = X^r \cong \mrm{Map}(\bar{r}, X)`$$`x\in \mrm{Map}(\bar{r}, X)`$ に対して、引数 $`i\in \bar{r}`$ …

トピック 4

「一度選んだモノは選ばないとして順番に選ぶ」ことの定義として、$`\{(x_1, x_2, \cdots, x_r) \in X^r \mid x_1\in X, x_2\in (X\setminus \{x_1\}), \cdots \}`$これでも意図は汲めるし、間違いではないが、左から右へと時間に沿って新しい集合 $`X\setmi…

トピック 3

何年か前に、twitter上で「確率の定義」でプチ炎上してたことがあったなぁ。ご本人(当事者、本の著者)のツイートは削除されているようだけど、痕跡は発見。 https://twitter.com/sekibunnteisuu/status/1366579568908275712 本を写した写真を読み取ると: …

トピック 2

$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}T`$ も $`S`$ も整数の集合 $`{\bf Z}`$ の有限部分集合(おそらく離散区間)、そのあいだの関数の集合は、$`\quad \mrm{Map}(T, S)`$ (有限集合)$`S`$ は、$`{\bf Z}`$ から引き継いだ順序 $`\le`$ を持つので、次の…

トピック 1

$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}f_\mrm{The}`$ は、ひとつの確定したThe・関数とする。The・関数は、離散時間変数 $`t`$ の関数で整数値を値とする。$`t`$ が走る域〈domain〉は $`{\bf Z}`$ の有限部分集合 $`T \subset {\bf Z}`$ とみなせる。したが…

恒等写像は集合族〈ファミリー〉か?

マイルドな(心理的拒絶感が少ない)例:$`A \subseteq \mathrm{Pow}(X)`$ とする。すると、$`\mathrm{id}_A : A \to A`$ は恒等写像。ところで、$`A \subseteq \mathrm{Pow}(X)`$ だったので、$`\mathrm{id'}_A : A \to \mathrm{Pow}(X)`$ とみなせる。この…

真に大きな有限集合

グロタンディーク宇宙の階層があれば、大きな(より正確には「小さくない」「真に大きい」)有限集合は作れる。したがって、次は成立しない。 集合 $`x`$ が有限ならば、$`x`$ は小さい集合である。 グロタンディーク宇宙の定義は Wikipedia グロタンディー…

依存タプルを処理する関数の例

現在、おそらく最も強力な型システムを持つと思われるLean 4によるコード。型ファミリーや依存タプルを含む型を定義して、型チェックは型システムに任せる。プログラマは、データの整合性をチェックするようなコードは書かない。処理のみを書く。 /-- 既婚か…