全称限量子が関数と思えないのはなぜか？
「限量子が関数なわけない」という思い込みもあるだろうが、独特な呼び名と書き方が大きな原因だろう。呼び名・書き方は習慣・伝統だから変えられない。が、個人・集団内で、一時的に変えるのは自由だ。
フルスペルではないが、長めの略称を使う。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}`$
| 日本語 | 英語 | 略称 |
|---|---|---|
| 連続写像 | continuous map | ContMap |
| 連続的微分可能写像 | continuously differentiable map | ContDiffMap |
| 微分作用素 | differential operator | DiffOp |
| 全称限量子 | universal quantifier | UnivQuant |
$`X`$ を数直線の一部（つまり、$`X \subseteq {\bf R}`$）として、
- $`X`$ 上で定義された連続写像全体の集合を $`\mathrm{ContMap}(X,{\bf R})`$ とする。
- $`X`$ 上で定義された連続的微分可能写像の集合を $`\mathrm{ContDiffMap}(X,{\bf R})`$ とする。
微分作用素は次のプロファイルの関数となる。
$`\quad \mrm{DiffOp} : \mrm{ContDiffMap}(X, {\bf R}) \to \mrm{ContMap}(X, {\bf R})\\
\quad \mrm{ContDiffMap}(X, {\bf R})\ni f \mapsto \mrm{DiffOp}(f)\in \mrm{ContMap}(X, {\bf R})
`$
略称が長くてうざいから、普通は次のように書く。
$`\quad D : C^1(X) \to C^0(X)\\
\quad C^1(X) \ni f \mapsto D(f) \in C^0(X)
`$
微分作用素も、集合 $`X`$ ごとに別々なことを明示したいなら：
$`\quad D_X : C^1(X) \to C^0(X)\\
\quad C^1(X) \ni f \mapsto D_X(f) \in C^0(X)
`$
とある二次関数に微分作用素を適用する（関数に引数を渡す）と：
$`\quad D_X( \lambda\, x\in X.(x^2 + 1) ) \in C^0(X)`$
伝統的な書き方では：
$`\quad \frac{d}{dx}(x^2 + 1) \in C^0(X)`$
$`X`$ を任意の集合として、
- $`X`$ 上で定義されたブール値関数全体の集合を $`\mathrm{Map}(X,{\bf B})`$ とする。
- 単元集合 $`{\bf 1}`$ 上で定義されたブール値関数の集合を $`\mathrm{Map}({\bf 1},{\bf B})`$ とする。
全称限量子は次のプロファイルの関数となる。
$`\quad \mrm{UnivQuant} : \mrm{Map}(X, {\bf B}) \to \mrm{Map}({\bf 1}, {\bf B})\\
\quad \mrm{Map}(X, {\bf B})\ni f \mapsto \mrm{UnivQuant}(f) \in \mrm{Map}({\bf 1}, {\bf B})
`$
全称限量子も、集合 $`X`$ ごとに別々なことを明示したいなら：
$`\quad \mrm{UnivQuant}_X : \mrm{Map}(X, {\bf B}) \to \mrm{Map}({\bf 1}, {\bf B})\\
\quad \mrm{Map}(X, {\bf B})\ni f \mapsto \mrm{UnivQuant}_X(f) \in \mrm{Map}({\bf 1}, {\bf B})
`$
とある不等式ブール値関数に全称限量子を適用する（関数に引数を渡す）と：
$`\quad \mrm{UnivQuant}_{\bf R}( \lambda\, x\in {\bf R}.( x^2 \gt 0) ) \in \mrm{Map}({\bf 1}, {\bf B})`$
伝統的な書き方では：
$`\quad \forall x\in {\bf R}.(x^2 \gt 0) \in \mrm{Map}({\bf 1}, {\bf B})`$
$`\mrm{Map}({\bf 1}, {\bf B}) \cong {\bf B}`$ なので、次のように解釈してもよい。
$`\quad \forall x\in {\bf R}.(x^2 \gt 0) \in {\bf B}`$
