$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}T`$ も $`S`$ も整数の集合 $`{\bf Z}`$ の有限部分集合（おそらく離散区間）、そのあいだの関数の集合は、
$`\quad \mrm{Map}(T, S)`$ （有限集合）
$`S`$ は、$`{\bf Z}`$ から引き継いだ順序 $`\le`$ を持つので、次の命題は意味を持つ。
$`\quad f(t) \le g(t) \; \text{ for }f, g\in \mrm{Map}(T, S), t\in T`$
$`F\subseteq \mrm{Map}(T, S)`$ として、$`t\in T`$ を固定したときに、集合 $`\{f(t) \in S \mid f \in F\}`$ は確定する。この集合をもっと丁寧に書けば：
$`\quad \{ s\in S \mid \exists f \in F.\, s = f(t) \}`$
この集合は、全順序集合 $`S`$ の有限部分集合なので、最小値と最大値（下）を持つ。
$`\quad \mrm{min}\{f(t) \in S \mid f \in F\} \;\in S\\
\quad \mrm{max}\{f(t) \in S \mid f \in F\} \;\in S
`$
$`t \in T`$ を動かせば、次の関数〈写像〉が定義できる。
$`\quad T\ni t \mapsto \mrm{min}\{f(t) \in S \mid f \in F\} \;\in S\\
\quad T\ni t \mapsto \mrm{max}\{f(t) \in S \mid f \in F\} \;\in S
`$
これらの関数を短く次のように書く。
$`\quad \mrm{Min}_F : T \to S\\
\quad \mrm{Max}_F : T \to S
`$
$`F \in \mrm{Pow}(\mrm{Map}(T, S))`$ （$`\mrm{Pow}`$ はベキ集合）も動かすと、次の関数〈写像〉が定義できる。
$`\quad \mrm{Pow}(\mrm{Map}(T, S)) \ni F \mapsto \mrm{Min}_F \in \mrm{Map}(T, S)\\
\quad \mrm{Pow}(\mrm{Map}(T, S)) \ni F \mapsto \mrm{Max}_F \in \mrm{Map}(T, S)
`$
つまり、
$`\quad \mrm{Min} : \mrm{Pow}(\mrm{Map}(T, S)) \to \mrm{Map}(T, S)\\
\quad \mrm{Max} : \mrm{Pow}(\mrm{Map}(T, S)) \to \mrm{Map}(T, S)
`$
反カリー化してもよい。（反カリー化した関数も同じ名前を使って書いている。）
$`\quad \mrm{Min} : \mrm{Pow}(\mrm{Map}(T, S))\times T \to S\\
\quad \mrm{Max} : \mrm{Pow}(\mrm{Map}(T, S))\times T \to S
`$
$`S`$ は、$`{\bf Z}`$ から引き継いだ引き算を持つ。が、次は保証されない。
$`\quad s, s'\in S \implies s - s' \in S`$
したがって、関数の引き算（二項演算）は次のような写像とみなす。
$`\quad \text{関数の引き算} : \mrm{Map}(T, S)\times \mrm{Map}(T, S) \to \mrm{Map}(S, {\bf Z})`$
$`\mrm{Max}_F`$ と $`\mrm{Min}_F`$ は、上記の意味の引き算ができるので、次の関数を定義できる。
$`\text{For }F \in \mrm{Pow}(\mrm{Map}(T, S))\\
\quad T\ni t \mapsto (\mrm{Max}_F(t) - \mrm{Min}_F(t)) \;\in {\bf Z}`$
この“最大値と最小値の差”の関数（定義より非負値）が、次の話題になる（続く）。
