グロタンディーク宇宙の階層があれば、大きな（より正確には「小さくない」「真に大きい」）有限集合は作れる。したがって、次は成立しない。
- 集合 $`x`$ が有限ならば、$`x`$ は小さい集合である。
グロタンディーク宇宙の定義は Wikipedia グロタンディーク宇宙 参照。念のため再掲：$`\newcommand{\Imp}{\Rightarrow}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} }
`$
- （所属に関する）推移性： $`x \in U, y \in x \Imp y \in U`$
- ペア集合： $`x, y \in U \Imp \{x, y\} \in U`$
- ベキ集合：$`x \in U \Imp \mrm{Pow}(x) \in U`$
- ファミリーの合併： $`I\in U, x:I \to U \Imp \bigcup_{\alpha\in I} x_\alpha \in U`$
ペア集合の公理から単元集合 $`\{x\} = \{x, x\}`$ は構成可能。
- $`x \in U \Imp \{x\} \in U`$
$`U, W`$ を2つのグロタンディーク宇宙として、$`U\in W`$ とする。$`W`$ はグロタンディーク宇宙だから、すぐ上の事実より、
- $`U \in W \Imp \{U\} \in W`$
が言えるが、$`U\in W`$ は仮定しているので、モーダスポネンスから、
- $`\{U\} \in W`$
次に、$`\{U\}`$ が（$`U`$ に関して）小さい集合ではないことを示す。背理法を使う。$`\{U\}`$ が（$`U`$ に関して）小さいと仮定すれば：
- $`\{U\} \in U`$
$`U`$ はグロタンディーク宇宙だったから、（所属に関する）推移性より、
- $`U \in U`$
これは矛盾する（ラッセルのパラドックス）。したがって、$`\{U\} \in U`$ は成立しない。つまり、$`\{U\}`$ は（$`U`$ に関して）小さい集合ではない。
以上より次が言えた。
- $`\{U\}`$ は有限集合（単元集合）である。
- $`\{U\}`$ は（$`U`$ に関して）小さい集合ではない。
よって、グロタンディーク宇宙 $`W`$ 内に、（$`U`$ に関して）小さくない（真に大きい）有限集合が存在する。これは冒頭の主張（下に再掲）の反例を与える。
- 集合 $`x`$ が有限ならば、$`x`$ は小さい集合である。
誤解がないように、否定された命題をより正確に言えば：
- 集合 $`x`$ がどこかの宇宙で有限ならば、$`x`$ は特定の宇宙において小さい集合である。
次は「有限」「小さい」の定義からの直接的帰結なので当然に成立する。
- 集合 $`x`$ が特定の宇宙で有限ならば、$`x`$ はその宇宙において小さい集合である。
宇宙の階層が累積階層かどうかは使ってないので、非累積的宇宙階層でも上の議論は成立する。$`U \in W \Imp \{U\} \in W`$ や推移性をが成立しないと話は変わってくるだろうが、グロタンディーク宇宙以外の宇宙は使ったことがないのでよく分からない。
