モノイド閉圏の事例： ☓（ループ除去）はやはり☓（ダメ）だ

[追記 date="2019-12-07"] 追記を、ここ（記事冒頭）と記事のおしりにします。が、既存部分の編集はしません。タイトルも変えません。☓は実際ダメなヤツだと思うので。

しかし、☓の直後に○が付くと、☓のダメさは打ち消されます。☓○ = ○ 。さらに、最初から○な状況であるなら、☓の効果も○の効果もなくなってしまい、何もしないプレーンな状態が回復します。（末尾の追記部分に続く。）[/追記]

内容：

一般的な定義
推論の書き方
基本的な性質
定理と注意
追加の記法と基本的な性質
追加の定理と注意

一般的な定義

後で使いそうなことを幾つか定義。

Graphを（任意の）有向グラフとグラフ準同型写像からなる圏とします。グラフ A∈|Graph| に対して、圏と同様な記法を使いましょう。

|A| := (Aの頂点の集合)
A(a, b) := (頂点aから頂点bに至るAの辺の集合)

単純グラフ〈simple graph〉は次の意味だとします。

Aが単純グラフ :⇔ ∀a, b∈|A|.(A(a, b) は空集合か単元集合)

単純グラフの圏をSGとします。SGはGraphの充満部分圏です。

反射的単純グラフ〈reflexive simple graph〉は次の意味だとします。

Aが反射的単純グラフ :⇔ Aは単純グラフ ∧ ∀a∈|A|.(A(a, a) は単元集合)

単純グラフの圏をRSGとします。RSGはSGの充満部分圏です。

使うかどうか分からないけど、アンチ反射的単純グラフ〈anti-reflexive simple graph〉は次の意味だとします。

Aがアンチ反射的単純グラフ :⇔ Aは単純グラフ ∧ ∀a∈|A|.(A(a, a) は空集合)

アンチ反射的単純グラフは、「反射的ではない単純グラフ」ではありません。

単純グラフに対して、自己ループ辺を（なければ）付け加える操作を A $\mapsto$ A^○とします。(-)^○ は、SG→SG または SG→RSG の関手になります。

単純グラフに対して、自己ループ辺を（あれば）全て取り除く操作を A $\mapsto$ A^☓とします。(-)^☓ は関手にはなりません。次の“悪い性質”を持ちます。

[BADNESS] f:A→B in SG に対して、次の図を可換にする g:A→B^☓ が存在するとは限らない。（下図で、iは包含写像。）

$\require{AMScd} \begin{CD} A @>g>> B^{\times} \\ @| @VV{i}V \\ A @>f>> B \end{CD}$

これは、だいぶたちが悪く、(-)^☓ を使用すると、モノイド閉圏の法則はたいてい壊れます。

推論の書き方

記述を簡単にするために、推論のワンステップを次のように書くことにします。

          命題1
          命題2
 通し番号 ----------------------根拠
          命題3

意味は、「上段の命題（複数でもよい）から、下段の命題が推論される」。

A, B∈|SG| に対して、命題として次の形式を用います。

A ∃→ B

意味は、「AからBへのグラフ準同型が存在する」。ただし、超越的に存在するのではなくて、標準的・構成的に存在することを意味します。つまり、A ∃→ B とは、次のどちらか。

A, B に対してあらかじめ標準的に決められた写像が存在する。
既に存在が保証されている写像から、A→B の写像を標準的手順により構成できる。

基本的な性質

以下、A^○, A^☓ を後置演算子により A○, A☓ と書く。
hom(-, -) は、GSにおける、ボックス積 □ に関する内部ホム。

推論に使ってよい性質（ほぼ自明な命題）。

[⊆○] A ⊆ A○
[☓○=○] A☓○ = A○
[⊆hom] B ⊆ C のとき、hom(A, B)→hom(A, C) を標準的に作れる
[☓⊆] A☓ ⊆ A
[⊆→] A ⊆ B で B→C があるとき、A→C を標準的に作れる
[結合] f:A→B, g:B→C があるとき、A→C を標準的に作れる
[内部カリー化] hom(A□B, C)→hom(A, hom(B, C)) が標準的に存在する
[G定義] G(A, B) := hom(A, B○)☓
[G'定義] G'(A, B) := hom(A, B○)

定理と注意

G(A□B, C) ∃→ G'(A, G(B, C))

すべてGなのではなく、G'が入っている点に注意。

   推論開始
 1 ---------------------------------------[⊆○]
   新規導入 hom(B, C○) ⊆ hom(B, C○)○
 2 ------------------------------------------------[⊆hom]
   hom(A, hom(B, C○)) ∃→ hom(A, hom(B, C○)○)
 3 --------------------------------------------------------[内部カリー化]
   新規導入 hom(A□B, C○) ∃→ hom(A, hom(B, C○))
   上段ママ hom(A, hom(B, C○)) ∃→ hom(A, hom(B, C○)○)
 4 --------------------------------------------------------[結合]
   hom(A□B, C○) ∃→ hom(A, hom(B, C○)○)
 5 ------------------------------------------------[☓○=○]
   hom(A□B, C○) ∃→ hom(A, hom(B, C○)☓○)
 6 -----------------------------------------------[G定義]
   hom(A□B, C○) ∃→ hom(A, G(B, C)○)
 7 -----------------------------------------------[☓⊆]
   新規導入 hom(A□B, C○)☓ ⊆ hom(A□B, C○)
   上段ママ hom(A□B, C○) ∃→ hom(A, G(B, C)○)
 8 -----------------------------------------------[⊆→]
    hom(A□B, C○)☓ ∃→ hom(A, G(B, C)○)
 9 -------------------------------------------[G定義]
    G(A□B, C) ∃→ hom(A, G(B, C)○)
10 -------------------------------------------[G'定義]
    G(A□B, C) ∃→ G'(A, G(B, C))

出現する写像がすべて単射なことから、構成される G(A□B, C)→G'(A, G(B, C)) は単射になります。

G(A□B, C) ∃→ G(A, G(B, C)) とはいかないのは、ステップ10において、[BADNESS]により、G'をGに置き換えられないから。

同様な理由（[BADNESS]）から、G(-, B) の極限保存は保証できません。G'(-, B) ならば極限保存するので、余極限構成を極限構成に写す反変連続関手*1です。

そもそも (-)^☓ は関手ではないので、関手のなかに (-)^☓ を混ぜてしまえば、それ以降、圏論的議論は使えなくなります。(-)^☓ は、圏論的議論とは極めて相性が悪い操作です。

[追記 date="2019-12-07"] ここから追記開始。

追加の記法と基本的な性質

「A ∃→ B」は、AからBへの標準的な写像の存在を主張する命題でした。互いに逆な双方向の写像の存在ならば「A ∃←→ B」とか書けばよさそうですが、普通に「A $\cong$ B」でもだいたい同じ意味なので、「 $\cong$ 」で書きます。

次の基本的な性質を追加します。

[内部カリー同型] hom(A□B, C) $\cong$ hom(A, hom(B, C))
[○ref] A○ は反射的
[ref○] Aが反射的ならば、A○ = A
[ref-hom] Bが反射的ならば、hom(A, B) も反射的

[内部カリー同型]は、モノイド閉圏で一般に成立する命題で、https://ncatlab.org/nlab/show/internal+hom#BasicProperties の "Proposition 3.2. (internal tensor/hom-adjunction)" を見てください。呼び名と記号は違って：

ここ	nLab
内部カリー同型	internal tensor/hom-adjunction
□	$\otimes$
hom(-, -)	[-, -]
$\cong$	$\simeq$

[ref-hom] については； f∈|hom(A, B)| として、任意の a∈|A| に対して、辺 f(a)→f(a) in B があるので、hom(A, B) 内でのｆのループが作れます。

追加の定理と注意

[補題1] hom(B, C○)☓○ = hom(B, C○)

   推論開始
 1 -------------[○ref]
   C○ は反射的
 2 ------------------------------[ref-hom]
   hom(B, C○) は反射的
 3 ------------------------------[ref○]
   hom(B, C○)○ =  hom(B, C○)
 4 ------------------------------[☓○=○]
   hom(B, C○)☓○ =  hom(B, C○)

[補題2] G'(A□B, C) $\cong$ G'(A, G(B, C))

   推論開始
 1 ------------------------------------------[内部カリー同型]
   hom(A□B, C○)  hom(A, hom(B, C○))
 2 ------------------------------------------[補題1]
   hom(A□B, C○)  hom(A, hom(B, C○)☓○)
 3 ------------------------------------------[G定義]
   hom(A□B, C○)  hom(A, G(B, C)○)
 4 ------------------------------------------[G'定義]
   G'(A□B, C)  G'(A, G(B, C))

G(A□B, C) $\cong$ G(A, G(B, C))

補題2の両辺に☓を作用させればよい。たちの悪い☓であっても、さすがに次は成立するので：

A $\cong$ B ならば、A☓ $\cong$ B☓

[/追記]

*1:最近は、「連続関手」という呼び名はあまり使われないようです。「極限保存関手」が優勢。「連続関手」は、https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_topology#Continuous_and_cocontinuous_functors の意味で使われるからでしょう。