動物論理におけるアダマール積 - (2nd) 檜山正幸のキマイラ飼育記

動物論理〈animal logic〉のリーズニングとは、動物知データベースに蓄えられた経験則に対する操作のこと。経験則は、動物シーケントにマルコフテンソルを割り当てたデータとして保存されている（と想定する）。知的動物は、動物知データベースから幾つかの経験則を取り出して、それにリーズニングを施して何らかの知的判断をする（と想定する）。

したがって、リーズニングはマルコフテンソルに対する操作〈オペレーション | 演算〉となる。マルコフテンソルに対する演算は色々あるが、計算途中で使われる演算にアダマール積がある。

アダマール積は、テンソルの成分ごとに掛け算するだけなので、任意の拡張テンソル（圏XTensの射「マルコフ・テンソルに関連する圏達」参照）に対して定義できる。総和を取らないので、集合が有限集合である必要もない。ただし、“どこを”掛け算するかの指定をテキストでおこなうのは難しい。ストリング図を使えば一目瞭然。
$\newcommand{\In}{\mbox{ in }}% \newcommand{\P}{{\bf P}}%$
$\xymatrix{ % 1 *{} %1 & *{}\ar[d]^A %2 & *{} %3 & *{} %4 & *{} \ar[d]^E %5 & *{} %6 \\ % 2 *{} %1 & *++[o][F]{x} \ar[ddddl]_B \ar@{-}[d] \ar[ddddr]_D %2 & *{} %3 & *{} %4 & *++[o][F]{y} \ar[ddl]_C %5 & *++[o][F]{z} \ar[dddl]_C%6 \\ % 3 *{} %1 & *{} \ar[drr]^C %2 & *{} %3 & *{} %4 & *{} %5 & *{} %6 \\ % 4 *{} %1 & *{} %2 & *{} %3 & *{\ast\:\mbox{(1)}} \ar[dr]^C%4 & *{} %5 & *{} %6 \\ % 5 *{} %1 & *{} %2 & *{} %3 & *{} %4 & *{\ast\:\mbox{(2)}} \ar[d]^C%5 & *{} %6 \\ % 6 *{} %1 & *{} %2 & *{} %3 & *{} %4 & *{} %5 & *{} %6 \\ }$

上のストリング図(もどき)に出現する3つのテンソルのプロファイルは

$x: (A) \to (B, C, D) \In {\bf XTens}$
$y: (E) \to (C) \In {\bf XTens}$
$z: () \to (C) \In {\bf XTens}$

テンソルの実体である関数のプロファイルは

$x: A \times (B\times C \times D) \to \P \In {\bf Set}$
$y: E \times C \to \P \In {\bf Set}$
$z: \{*\} \times C \to \P \In {\bf Set}$

ラムダ記法で関数を書けば

$x = \lambda\, (b, c, d\mid a)\in A \times (B\times C \times D). x(b, c, d\mid a)$
$y = \lambda\, (c \mid e) \in E \times C. y(c \mid e)$
$z = \lambda\, (c \mid *) \in \{*\} \times C. z( c \mid *)$

ラムダ記法を一部省略すれば

$x = \lambda\, (b, c, d\mid a). x(b, c, d\mid a)$
$y = \lambda\, (c \mid e) . y(c \mid e)$
$z = \lambda\, (c \mid *) . z( c \mid *)$

以上でセットアップは済み。

一番のアダマール積をした結果を $s$ とすると、次のように書ける。

$s = \lambda\, (b, d, c\mid a, e). x(b, c, d \mid a) y(c \mid e)$

ニ番のアダマール積をした結果を $t$ とすると、次のように書ける。

$t = \lambda\, (b, d, c\mid a). s(b, d, c \mid a,e) z(c \mid *) \\ = \lambda\, (b, d, c\mid a). x(b, c, d \mid a,e) y(c \mid e)z(c \mid *)$

次に、アダマール積を実行するタイミングを変える。

$\xymatrix{ % 1 *{} %1 & *{}\ar[d]^A %2 & *{} %3 & *{} %4 & *{} \ar[d]^E %5 & *{} %6 \\ % 2 *{} %1 & *++[o][F]{x} \ar[ddddl]_B \ar@{-}[d] \ar[ddddr]_D %2 & *{} %3 & *{} %4 & *++[o][F]{y} \ar[dr]_C %5 & *++[o][F]{z} \ar[d]_C%6 \\ % 3 *{} %1 & *{} \ar[ddrrr]^C %2 折れ線 & *{} %3 & *{} %4 & *{} %5 & *{\ast\:\mbox{(3)}} \ar[ddl]^C%6 \\ % 4 *{} %1 & *{} %2 & *{} %3 & *{} %4 & *{} %5 & *{} %6 \\ % 5 *{} %1 & *{} %2 & *{} %3 & *{} %4 & *{\ast\:\mbox{(4)}} \ar[d]^C%5 & *{} %6 \\ % 6 *{} %1 & *{} %2 & *{} %3 & *{} %4 & *{} %5 & *{} %6 \\ }$

三番のアダマール積をした結果を $s'$ とすると、次のように書ける。

$s' = \lambda\, (c\mid e). y(c \mid e)z(c |*)$

四番のアダマール積をした結果を $t'$ とすると、次のように書ける。

$t' = \lambda\, (b, d, c\mid a, e). x(b, c, d \mid a)s'(c\mid e) \\ = \lambda\, (b, d, c\mid a, e). x(b, c, d \mid a) y(c \mid e)z(c \mid *)$

先ほどと結果は等しい $t = t'$ ので、ある種の“結合律”は成立しているのだが、結合律の一般的な形式をテキスト記法で書き下すのはだいぶ面倒。

ストリング図(もどき)の XyJax ソース。書くの大変なんよ、コレ。

\xymatrix{
% 1
  *{} %1
  & *{}\ar[d\]^A %2
  & *{} %3  
  & *{} %4
  & *{} \ar[d\]^E %5
  & *{} %6
\\
% 2
  *{} %1
  & *++[o\][F\]{x} \ar[ddddl\]_B \ar@{-}[d\] \ar[ddddr\]_D %2
  & *{} %3  
  & *{} %4
  & *++[o\][F\]{y} \ar[ddl\]_C %5
  & *++[o\][F\]{z} \ar[dddl\]_C%6
\\
% 3
  *{} %1
  & *{} \ar[drr\]^C %2
  & *{} %3  
  & *{} %4
  & *{} %5
  & *{} %6
\\
% 4
  *{} %1
  & *{} %2
  & *{} %3  
  & *{\ast\:\mbox{(1)}} \ar[dr\]^C%4
  & *{} %5
  & *{} %6
\\
% 5
  *{} %1
  & *{} %2
  & *{} %3  
  & *{} %4
  & *{\ast\:\mbox{(2)}} \ar[d\]^C%5
  & *{} %6
\\
% 6
  *{} %1
  & *{} %2
  & *{} %3  
  & *{} %4
  & *{} %5
  & *{} %6
\\
}


\xymatrix{
% 1
  *{} %1
  & *{}\ar[d\]^A %2
  & *{} %3  
  & *{} %4
  & *{} \ar[d\]^E %5
  & *{} %6
\\
% 2
  *{} %1
  & *++[o\][F\]{x} \ar[ddddl\]_B \ar@{-}[d\] \ar[ddddr\]_D %2
  & *{} %3  
  & *{} %4
  & *++[o\][F\]{y} \ar[dr\]_C %5
  & *++[o\][F\]{z} \ar[d\]_C%6
\\
% 3
  *{} %1
  & *{} \ar[ddrrr\]^C %2 折れ線
  & *{} %3  
  & *{} %4
  & *{} %5
  & *{\ast\:\mbox{(3)}} \ar[ddl\]^C%6  
\\
% 4
  *{} %1
  & *{} %2
  & *{} %3  
  & *{} %4
  & *{} %5
  & *{} %6
\\
% 5
  *{} %1
  & *{} %2
  & *{} %3  
  & *{} %4
  & *{\ast\:\mbox{(4)}} \ar[d\]^C%5
  & *{} %6
\\
% 6
  *{} %1
  & *{} %2
  & *{} %3  
  & *{} %4
  & *{} %5
  & *{} %6
\\
}