トピック 4 の続き。直積による$`r`$乗は関数集合〈function set〉だと思ってよい。$`\newcommand{mrm}[1]{\mathrm{#1}}`$
$`X \times \cdots \times X = X^r \cong \mrm{Map}(\bar{r}, X)`$
$`x\in \mrm{Map}(\bar{r}, X)`$ に対して、引数 $`i\in \bar{r}`$ を渡す書き方が下付きなだけ。
$`\text{for } i \in \bar{r}\\
\quad x_i = x(i) \;\in X`$
もし、関数〈写像〉 $`x : \bar{r} \to X`$ が単射なら、「関数の値 ＝ タプルの成分」に重複はない。
$`\quad x \in \mrm{Map}(\bar{r}, X) \text{ が単射}\\
\iff \text{タブルとみなした } x \text{ の成分に重複がない}\\
\iff \forall i, j \in \bar{r}.\, i \ne j \implies x(i) \ne x(i) \\
\iff \lnot
\exists i, j \in \bar{r}.\, i \ne j \land x(i) = x(j)
`$
