解答：集合圏における可換図式による法則の記述 (C A6R2)

$\require{AMScd} \newcommand{\id}{\mbox{id}} \newcommand{\zero}{{\bf 0}} \newcommand{\one}{{\bf 1}} \newcommand{\two}{{\bf 2}} \newcommand{\F}{\mbox{F}} \newcommand{\T}{\mbox{T}} \newcommand{\true}{\mbox{true}} \newcommand{\false}{\mbox{false}} \newcommand{\eq}{\mbox{eq}}$ 「集合圏における可換図式による法則の記述 (C A3P2)」の練習問題への解答です。

内容：

問題 1
問題 2
問題 3
問題 4

問題 1

結果だけ書いてもあまり意味がないが：

(_+_)(2, 3) = 5
(_+_)((_×_)(2, 3), (_×_)(4, 5)) = 26
(_+_)((_×_)(2, (_)²(3)), (_×_)(2, 3)) = 24
(_+_)(3, (_+_)(1, 7)) = 11
(_+_)((_+_)(3, 1), 7) = 11
(_x_)((_!)(3), (_+_)(1, 1)) = 12

よく分からない、納得がいかないことがあれば、檜山にコンタクトしてください（他の問題に関しても同様）。

問題 2

(∨)((∧)(1, 1), (∧)(1, 0)) = 1
(￢_)((∧)(1, 1)) = 0
(￢_)((￢_)((∨)(1, 0))) = 1
(∨)((￢_)((∧)(1, 0)), (￢_)((∧)(0, 1))) = 1

問題 3

(=)((+)(1, 1), 2) = 1
(∨)((≦)(1, 2), (=)(1, 2)) = 1
(∧)((≦)(1, 2), (=)(1, 2)) = 0
(∧)((≦)(1, 2), (￢_)((=)(1, 2))) = 1
(∧)((≦)(1, 2), (≦)(2, 1)) = 0
(￢_)((∧)((≦)(2, 2), (≦)(2, 2))) = 0

問題 4

演算 m の結合律（もっと正確に）

集合の要素を追いかける図

$\begin{CD} ( (a, b), c) @>m\times \mbox{id}_A>> (m(a, b), c) \\ @V\alpha_{A,A,A}VV @| \\ (a, (b, c) ) @. {} \\ @V \mbox{id}_A\times m VV @VV m V \\ (a, m(b, c)) @>m>> 下下右\;m(a, m(b, c)), 右下\;m(m(a, b), c) \end{CD}$

等式

$m(m(a, b), c) = m(a, m(b, c))$

演算 m の左単位律

集合の要素を追いかける図

$\begin{CD} a @>{{\lambda_A}^{-1}}>> (0, a) \\ @| @VV{e\times \mbox{id}_A}V \\ 下\;a, 右下左\;m(e(0), a) @<{m}<< (e(0), a) \end{CD}$

等式

$m(e(0), a) = a$

演算 m の右単位律

集合の要素を追いかける図

$\begin{CD} a @>{{\rho_A}^{-1}}>> (a, 0) \\ @| @VV{\mbox{id}_A\times e}V \\ 下\;a, 右下左\;m(a, e(0)) @<{m}<< (a, e(0)) \end{CD}$

等式

$m(a, e(0)) = a$

演算 m のベキ等律

集合の要素を追いかける図

$\begin{CD} a @>{\Delta_A}>> (a, a) \\ @| @VV{m}V \\ 下\; a, 右下左\;m(a, a) @= m(a, a) \end{CD}$

等式

$m(a, a) = a$

演算 m の左逆元

集合の要素を追いかける図

$\begin{CD} a @>{\Delta_A}>> (a, a) \\ @V{!_A;e}VV @VV{S \times \mbox{id}_A}V \\ 下\;e(0), 右下左\; m(S(a), a) @<{m}<< (S(a), a) \end{CD}$

等式

$m(S(a), a) = e(0)$

演算 m の右逆元

集合の要素を追いかける図

$\begin{CD} a @>{\Delta_A}>> (a, a) \\ @V{!_A;e}VV @VV{\mbox{id}_A \times S}V \\ 下\;e(0), 右下左\;m(a, S(a)) @<{m}<< (a, S(a)) \end{CD}$

等式

$m(a, S(a)) = e(0)$

関係 r の反射律

集合の要素を追いかける図

$\begin{CD} a @>{\Delta_A}>> (a, a) \\ @| @VV{r}V \\ a @>{\T_A}>> 下右\; 1, 右下\;r(a, a) \end{CD}$

等式

$r(a, a) = 1$

関係 r の推移律

Lの定義：

集合の要素を追いかける図

$\begin{CD} ( (a, b), c) @>{\Delta_{(A\times A)\times A}}>> ( ( (a, b), c), ( (a, b), c) ) \\ @| @VV{ {\id_{(A\times A)\times A}} \:\: \times\, \alpha_{A,A,A}}V \\ {} @. ( ( (a, b), c), ( a, (b, c) )) \\ @| @VV{(r\times !_A) \times (!_A\times r)}V \\ {} @. (r(a, b), 0), (0, r(b, c) ) \\ @V{L}VV @VV{\rho_{\two} \,\times\, \lambda_{\two}}V \\ 下\;L( (a, b),c), 右下下下左\;r(a, b)\land r(b, c) @<{(\_\land\_)}<< (r(a, b), r(b, c)) \end{CD}$

（定義としての）等式

$L( (a, b),c) := r(a, b)\land r(b, c)$

Rの定義：

集合の要素を追いかける図

$\begin{CD} ( (a, b), c) @>{\alpha_{A,A,A}}>> (a, (b, c)) \\ @| @VV{\id_A \,\times\, \sigma_{A,A}}V \\ {} @. (a, (c, b)) \\ @| @VV{{\alpha_{A,A,A}}^{-1}}V \\ {} @. ( (a, c), b) \\ @V{R}VV @VV{{\pi_1}_{A\times A, A}}V \\ 下\;R( (a, b),c),右下下下左\;r(a, c) @<{r}<< (a, c) \end{CD}$

（定義としての）等式

$R( (a, b),c) := r(a, c)$

推移律：

集合の要素を追いかける図

$\begin{CD} ( (a, b), c) @>{\Delta_{(A\times A)\times A}}>> ( ( (a, b), c), ( (a, b), c) ) \\ @V{\T_{(A\times A)\times A}}VV @V{L \times R}VV \\ 下\;1,右下左\;L( (a, b), c)\Rightarrow R( (a, b), c) @<{(\_\Rightarrow\_)}<< (L( (a, b), c), R( (a, b), c) ) \end{CD}$

等式

$L( (a, b), c)\Rightarrow R( (a, b), c) = 1$

LとRの定義を考慮すると：

$r(a, b)\land r(b, c) \Rightarrow r(a, c) = 1$

述語関数（値を2に取る関数）に関して「… = 1」であるとは、「…が成立する」「…が正しい」と同じ意味なので、

$r(a, b)\land r(b, c) \Rightarrow r(a, c)$ が成立する

と読める。が、通常「が成立する」は省略する（いちいち書かない）習慣なので、

$r(a, b)\land r(b, c) \Rightarrow r(a, c)$

マックレーンの五角形、三角形

集合の要素を追いかける図

$\begin{CD} ( ( (a, b), c), d) @>\alpha_{A\times B,C,D}>> ( ( a, b) , (c, d)) \\ @| @VV \alpha_{A,B,C\times D} V \\ {} @. (a, (b, (c, d))) \\ @V \alpha_{A,B,C}\;\times \mbox{id}_D VV @AA {\mbox{id}_A\times \alpha_{B,C,D}} A \\ ( (a, (b, c)), d) @>\alpha_{A,B\times C,D}>> (a, ( (b, c), d)) \end{CD}$

右下でも下右上でも同じ。

集合の要素を追いかける図

$\begin{CD} ( (a , 0), b) @>\alpha_{A,\one, B}>> (a, (0, b)) \\ @V{\rho_A\times \id_B}VV @V{\id_A \times \lambda_B}VV \\ (a, b) @= (a, b) \end{CD}$

右下でも下右でも同じ。