問題集1の目的と解答と追加説明 (G2 A4R1) - (2nd) 檜山正幸のキマイラ飼育記

※この記事は「記事4 解答1」
※今回は「です・ます調」。

問題集1とは、次の記事（の問題部分）のことです：

命題と、そのコンテキスト／真理集合 (G2 A1P1)

解答だけでなく、「どうしてこのような練習をするか？」や、関連する事項の説明もします。誤解されがちなメタ論理やメタ論理記号、反例と正例の話題にも触れます。

内容：

書き方の注意
自然言語へ翻訳しても数学的な意味はない
限量子を含まない閉論理式
限量子を含む閉論理式
反例と正例
限量子の数学的（素朴集合論的）解釈
補集合の性質、ついでに「メタ」について
限量子を含む閉論理式の解説
コンテキスト付き論理式
コンテキスト付き論理式（続き）
コンテキストの水増し
様々な論理式を作ってみる
限量子も使ってみる

書き方の注意

形式化された論理と通常の論理（メタ論理）を区別するため、次の書き方の約束をします。

メタ論理（形式されてない通常の論理）の論理記号は丸括弧で囲む。(∧), (⇒) など。
形式化された命題である論理式は引用符で囲む。"∀x∈R.∃y∈R.(y² = x)" のように。

形式化されている／されてないを特に強調したいときは上記の書き方を使います。しかし、いつでもちゃんと区別して書き分けるわけではありません。完全に区別し続けるのはシンドイ -- 文脈による判断もよろしく。

自然言語へ翻訳しても数学的な意味はない

論理記号は次の表と共に導入されます。

記号	意味
∧	かつ
∨	または
¬	ではない
⇒	ならば

この表の右欄の「意味」は、自然言語（日本語）としての意味です。記号 ←→ 日本語の翻訳が出来ても、数学的な意味は何も確定しません。

記号'∧'の数学的意味を定義するひとつの方法は、∧を {0, 1}×{0, 1}→{0, 1} という写像〈関数 | 演算〉だと解釈して、写像∧の定義を下のように与えることです。ここで、0は偽、1は真を表すとします。

∧	0	1
0	0	0
1	0	1

他の論理記号も同様にして、写像として数学的意味を確定できます。

しかし、変数xがある場合、

0 ≦ x ∧ x ≦ 1

における'∧'の意味は明らかではありません。次のような解釈があります。

xの値が決まれば、0 ≦ x ∧ x ≦ 1 の意味は0（偽）または1（真）として決まる。

しかし、xの値の範囲が不明で、やっぱりよく分かりません。そこでコンテキストを明示して、

x∈R| 0 ≦ x ∧ x ≦ 1

これなら、

xの値が1/2と決まれば、0 ≦ 1/2 ∧ 1/2 ≦ 1 の意味は1として決まる。
xの値が3と決まれば、0 ≦ 3 ∧ 3 ≦ 1 の意味は0として決まる。
xの値が0と決まれば、0 ≦ 0 ∧ 0 ≦ 1 の意味は1として決まる。
xの値が-1と決まれば、0 ≦ -1 ∧ -1 ≦ 1 の意味は0として決まる。
…

結果として、上記のコンテキスト付き論理式は、R→{0, 1} という写像〈関数〉を定義します。より一般には、集合Xから{0, 1}への写像 X→{0, 1} が決まります。

X→{0, 1} という写像達に対して、∧、∨、¬、⇒ という演算を定義しても、もちろんいいのですが、我々にとってより馴染みがあるのは集合演算なので、∧、∨、¬、⇒ （の数学的意味）を集合演算として定義します。写像でも集合でもどっちでもよい理由は：

X→{0, 1} という写像と Xの部分集合のあいだには1：1の対応がある。
（すぐ上と同じことだが）写像の集合 Map(X, {0, 1}) と Xのベキ集合 Pow(X) は集合として同型であり、標準的な同型写像がある。
標準的な同型写像は、f |→ {x∈X| f(x) = 1} という対応と、S |→ λx∈X.(if(x∈S) then 1 else 0 end) という対応（互いに逆）で与えられる。

※ λx∈X.(…) は、「… という式で定義される関数」の意味です。

そんな事情で、(x∈R| 0 ≦ x ∧ x ≦ 1) というコンテキスト付き論理式は、Rのベキ集合 Pow(R) の要素（＝Rの部分集合）により意味付けられ、論理記号 ∧、∨、¬、⇒ も、Pow(R)において定義された集合演算（∪, ∩ など）として解釈されます。コンテキスト（の領域）が別な集合Xなら、Pow(X)の集合演算を使います。

以上の内容をまとめると：

〚x∈X| A〛 = {x∈X| A}
〚x∈X| A∧B〛 = 〚x∈X| A〛∩〚x∈X| B〛
〚x∈X| A∨B〛 = 〚x∈X| A〛∪〚x∈X| B〛
〚x∈X| ¬A〛 = 〚x∈X| A〛^c （右肩のcは補集合をとることを表す）
〚x∈X| A⇒B〛 = 〚x∈X| A〛^c ∪〚x∈X| B〛

これでやっと、論理記号 ∧、∨、¬、⇒ を数学的に議論できる準備ができました。

「記号'∧'は『かつ』の意味です」という説明は、もちろん必要だし、最初はこう言って導入すべきです。が、記号'∧'の数学的意味については何ひとつ規定してないので、論理の数学的モデルの構築には、これっぽっちも役に立ちません -- 形式的には何も言ってなかったのです。

限量子を含まない閉論理式

0を空集合として、1 = {0}, Pow(1) = {0, 1} とします。0は偽を意味し、Fとも書きます。1は真を意味し、Tとも書きます。混乱の恐れがないなら、0を0, 1を1とも書きます。ほとんどの場合、0と0とF、1と1とTを区別しません -- こういうイイカゲンさ、ちゃらんぽらんさは、論理では当たり前のことなので、神経質になるのはやめましょう。

スコット・ブラケット（の値）を求めるときに使う公式（定義）を、コンテキストを省略して繰り返すと：

〚A∧B〛 = 〚A〛∩〚B〛
〚A∨B〛 = 〚A〛∪〚B〛
〚¬A〛 = 〚A〛^c （右肩のcは補集合をとることを表す）
〚A⇒B〛 = 〚A〛^c ∪〚B〛

記号 '⇒' を集合演算の意味でもオーバーロードして使うことにします。

（なんかの親集合の）部分集合 V, W に対して、 V⇒W := V^c ∪ W

この書き方を使うと：

〚A⇒B〛 =〚A〛⇒〚B〛

左側の'⇒'は論理結合子、右側の'⇒'は集合演算です。こういうオーバーロード（記号の流用、多義的使用）は良くない（実害がある）習慣ですが、記号が足りないので現実には多用されます。ちゃらんぽらんで、悪いこともやってしまう、のが論理のやり口です。

では【練習問題 A の解答】。一部（7番以降）は計算過程も示します。以下の論理式の場合、（記述が省略されているが）変数の変域を示すコンテキストは空。コンテキスト領域は1。したがって、スコット・ブラケットの値は0または1。念の為ここでは、0, 1 ではなくて 0, 1 を使います。

〚1 + 2 = 3〛 = 1
〚1 + 2 < 3〛 = 0
〚1² = 2²〛 = 0
〚3 ≦ 5 ∧ 3 ≦ 3〛 = 1
〚1 + 2 < 3 ⇒ 1² = 2²〛 = 1
〚1 + 2 < 3 ∨ 1² = 2² ∨ 3 ≦ 3〛 = 1
〚(3 ≦ 5 ∧ 3 ≦ 3) ⇒ 1 + 2 < 3〛 = 0
〚(3 ≦ 5 ∨ 3 ≦ 3) ⇒ ¬(1 + 2 < 3)〛 = 1
〚¬(1 + 2 < 3) ⇒ (1 + 2 = 2)〛 = 0
〚1 + 2 = 3 ⇒ (1 + 2 < 3 ⇒ 1² = 2²)〛 = 1

計算過程：

7.
   〚(3 ≦ 5 ∧ 3 ≦ 3) ⇒ 1 + 2 < 3〛
 = 〚3 ≦ 5 ∧ 3 ≦ 3〛⇒〚1 + 2 < 3〛
 = (〚3 ≦ 5〛∩〚3 ≦ 3〛)⇒〚1 + 2 < 3〛
 = (1∩1)⇒0
 = 1⇒0
 = 1^c∪0
 = 0∪0
 = 0

8.
   〚(3 ≦ 5 ∨ 3 ≦ 3) ⇒ ¬(1 + 2 < 3)〛
 = 〚3 ≦ 5 ∨ 3 ≦ 3〛⇒〚¬(1 + 2 < 3)〛
 = (〚3 ≦ 5〛∪〚3 ≦ 3〛)⇒〚1 + 2 < 3〛^c
 = (1∪1)⇒0^c
 = 1⇒1
 = 1^c∪1
 = 0∪1
 = 1

9.
   〚¬(1 + 2 < 3) ⇒ (1 + 2 = 2)〛
 = 〚1 + 2 < 3〛^c⇒〚1 + 2 = 2〛
 = 0^c⇒0
 = 1⇒0
 = 1^c∪0
 = 0∪0
 = 0

10.
   〚1 + 2 = 3 ⇒ (1 + 2 < 3 ⇒ 1² = 2²)〛
 = 〚1 + 2 = 3 ⇒ (1 + 2 < 3 ⇒ 1² = 2²)〛
 = 〚1 + 2 = 3〛⇒〚1 + 2 < 3 ⇒ 1² = 2²〛
 = 〚1 + 2 = 3〛⇒(〚1 + 2 < 3〛⇒〚1² = 2²〛)
 = 1⇒(0⇒0)
 = 1⇒1
 = 1

空なコンテキストの領域が1であることは、あまり深く考え込まないで、便宜的な約束だと思って受け入れましょう。この約束を受け入れれば、二値真偽値 {T, F} と、命題の真理集合（命題の外延、解集合、集合の内包的記法、デカルト解析幾何の意味での図形などと同じ）を、スコット・ブラケットにより統一的に扱うことができます。「便宜的」と言いましたが、この約束は実際は極めて整合的です。

限量子を含む閉論理式

【練習問題 B の解答】を先に：

〚∀n∈N.(n ≧ 0)〛 = 1
〚∃n∈N.(n < 0)〛 = 0
〚∀n∈N.∃m∈N.(m ≧ n)〛 = 1
〚∀n∈N.∃m∈N.(m < n)〛 = 0
〚∀x∈R.∃y∈R.(y² = x)〛 = 0
〚∀x∈R.∃y∈R.(x ≧ 0 ⇒ y² = x)〛 = 1
〚∃y∈R.∀x∈R.(x ≧ 0 ⇒ y² = x)〛 = 0
〚∀x∈R.∀y∈R.∃n∈N.((x ≧ 0 ∧ y > 0) ⇒ yn ≧ x)〛 = 1

これらの真偽値を理解するひとつの方法は、「命題と、そのコンテキスト／真理集合 (G2 A1P1)」に書いた「感情表現をタップリ混じえた日本語」に沿って考える方法です。

自然言語に基づく直感的理解も重要で、決して悪いものではありません。ですが、スコット・ブラケットは素朴集合論に基づいて定義されている関数なので、素朴集合論の観点からも理解しておいたほうがいいでしょう（次節以降）。

反例と正例

反例という言葉はよく知られています。反例と対になる言葉はなんでしょう？それは「例」です。しかし、「例」では、一般的な事例と区別が付かないので、テクニカルタームとして「正例」と呼ぶことにします。

コンテキスト付き論理式 (x∈X| A) があったとき、

集合Xの特定の要素aが正例だとは、論理式Aの変数xにaを代入した後のスコット・ブラケット（の値）〚A'〛が1になること。A'は、Aの変数xにaを代入した後の閉論理式。
集合Xの特定の要素aが反例だとは、論理式Aの変数xにaを代入した後のスコット・ブラケット（の値）〚A'〛が0になること。A'は、Aの変数xにaを代入した後の閉論理式。

正例集合は真理集合と同じであり、反例集合は真理集合の補集合です。また言葉が増えてしまいましたが、同じ意味です。

我々は、変数を持つ命題（＝コンテキスト付き命題）を、その正例や反例を通して理解します。つまり、命題の真理集合や、真理集合の補集合を使って考えるのです。“真理集合＝スコット・ブラケット”による“意味のモデリング”が、人間の思考とかけ離れているわけでもないでしょ。

限量子の数学的（素朴集合論的）解釈

限量された〈限量子付きの | quantified〉論理式とコンテキスト付き論理式は、相互に関連していて、切り離して議論は出来ません。

限量された論理式 ∀x∈X.P、∃x∈X.P のスコット・ブラケット（の値）を求めるには、限量子を外してコンテキストに換えた (x∈X| P) のスコット・ブラケットを先に求める必要があります。

〚∀x∈X.P〛 = 1 (⇔) 〚x∈X| P〛 = X
〚∀x∈X.P〛 = 0 (⇔) 〚x∈X| P〛 ≠ X
〚∃x∈X.P〛 = 1 (⇔) 〚x∈X| P〛 ≠ 0
〚∃x∈X.P〛 = 0 (⇔) 〚x∈X| P〛 = 0

ここで、記号 '(⇔)' は、メタな（つまり、普通の、形式化されてない）論理的同値の記号です。テクニカルタームとしての「正しい」と、テクニカルタームとしての「正例」を使って述べれば：

∀x∈X.P が正しい (⇔) (x∈X| P) が正しい
∀x∈X.P が正しくない (⇔) (x∈X| P) が正しくない
∃x∈X.P が正しい (⇔) (x∈X| P) が正例を持つ
∃x∈X.P が正しくない (⇔) (x∈X| P)が正例を持たない

テクニカルタームとしての「反例」「正例」を使えば：

∀x∈X.P が正しい (⇔) (x∈X| P) が反例を持たない
∀x∈X.P が正しくない (⇔) (x∈X| P) が反例を持つ
∃x∈X.P が正しい (⇔) (x∈X| P) が正例を持つ
∃x∈X.P が正しくない (⇔) (x∈X| P)が正例を持たない

限量された〈限量子付き〉の命題は、限量子を取り外したコンテキスト付き命題の、正しさの程度（＝スコット・ブラケットの値）を要約した表現と捉えられます。

補集合の性質、ついでに「メタ」について

正例の集合と反例の集合は、互いに補集合になっています。補集合は次の性質を持ちます。V, W をXの部分集合として：

V∪V^c = X
(V^c)^c = V
(V∩W)^c = V^c∪V^c
(V∪W)^c = V^c∩V^c

これら補集合の性質は、排中律、二重否定、ド・モルガンの法則という論理法則の集合バージョンです。我々は、これらの論理法則とその集合バージョンを疑ったりしないし、平気で使います。他の数学の分野でも平気で使っているのだから、当然の話です。

そのことと、形式化された演繹システム内で、排中律、二重否定、ド・モルガンの法則などが成立するかどうかはまったくの別問題です。演繹システムは、我々が新しく作り出す（ソフトウェアプログラムと同様な）人工的構築物なので、下手に作れば期待される性質を持ちません。バグだらけのシステムだってありえます。

次の二文は、まったく別なことを述べています。メタ論理（我々が通常使っている形式化されてない論理）記号は丸括弧で包む規則で書きます。

メタ論理（我々が通常使っている形式化されてない論理）において、ド・モルガンの法則 (¬)(A(∧)B) (⇔) (¬)A(∨)(¬)B が成立しているし、既に平気で使っている。
我々が構築した演繹システムSは、形式化されたド・モルガンの法則 "¬(A∧B) ⇔ ¬A∨¬B" を（なんらかのメカニズムにより）正しいと判断できる。

二番目の主張は、メタ命題（演繹システムSに関する普通の命題）であり、メタ論理（普通の論理）を使ってメタ証明（普通に証明）すべき事項です。

限量子を含む閉論理式の解説

【練習問題 B】の最初の2問について詳しく見てみます。

1. ∀n∈N.(n ≧ 0)

今まで述べたことから、次のような（メタな）同値性があります。

∀n∈N.(n ≧ 0) が正しい (⇔) (n∈N| n ≧ 0) が反例を持たない
∀n∈N.(n ≧ 0) が正しい (⇔) (n∈N| n ≧ 0) の反例集合が空
∀n∈N.(n ≧ 0) が正しい (⇔) (n∈N| n ≧ 0) の正例集合がN
〚∀n∈N.(n ≧ 0)〛 = 1 (⇔) 〚n∈N| n ≧ 0〛 = N

あるいは、

∀n∈N.(n ≧ 0) が正しくない (⇔) (n∈N| n ≧ 0) が反例を持つ
∀n∈N.(n ≧ 0) が正しくない (⇔) (n∈N| n ≧ 0) の反例集合が空ではない
∀n∈N.(n ≧ 0) が正しくない (⇔) (n∈N| n ≧ 0) の正例集合がNではない
〚∀n∈N.(n ≧ 0)〛 = 0 (⇔) 〚n∈N| n ≧ 0〛 ≠ N

これら同値な判定基準のどれを使ってもいいですが、例えば、「n ≧ 0 がN内で反例を持たない」ことから、〚∀n∈N.(n ≧ 0)〛 = 1 です。

2. ∃n∈N.(n < 0)

∃n∈N.(n < 0) が正しい (⇔) (n∈N| n < 0) が正例を持つ
∃n∈N.(n < 0) が正しい (⇔) (n∈N| n < 0) の正例集合が空ではない
∃n∈N.(n < 0) が正しい (⇔) (n∈N| n < 0) の反例集合がNではない
〚∃n∈N.(n < 0)〛 = 1 (⇔) 〚n∈N| n < 0〛 ≠ 0

あるいは、

∃n∈N.(n < 0) が正しくない (⇔) (n∈N| n < 0) が正例を持たない
∃n∈N.(n < 0) が正しくない (⇔) (n∈N| n < 0) の正例集合が空
∃n∈N.(n < 0) が正しくない (⇔) (n∈N| n < 0) の反例集合がN
〚∃n∈N.(n < 0)〛 = 0 (⇔) 〚n∈N| n < 0〛 = 0

前問と同じく、どれで判断しても〚∃n∈N.(n < 0)〛 = 0 。

3 以降

【練習問題 B】の3問目以降は、限量子が2つ付いています。「命題と、そのコンテキスト／真理集合 (G2 A1P1)」に書いた「感情表現をタップリ混じえた日本語」に沿って考えれば、おそらく解答は得られるでしょう。

しかし、2個以上の限量子が付いた形式化された論理式の数学的解釈は、日本語としての解釈とは別に定義する必要があります。なぜなら、形式化された論理式は人工的に定めた構文的なデータに過ぎず、我々人間が意味を定義してあげないと、天然の意味などないからです。

「意味を定義してあげる」作業は、国語辞典の項目を書き下す作業ではありません。【練習問題 B】の最初の2問（1個の限量子）に対してやったのと同程度の精度の議論が必要です。が、この説明は長くなるので、以下の記事を読んでみてください（短い解説なら、この記事の最後にあります）。

論理の限量子の使い方が嫌でも分かってしまう話

コンテキスト付き論理式

【練習問題 C】を再掲。

(x∈R| x < 0 ∨ 1 < x)
(x∈R| 0 < x ∧ x < 1)
(x∈R| 0 < x ∧ 1 < x)
(x∈R| x < 0 ⇒ x² = 1)
(x∈R| x² = 1 ⇒ x < 0)
(x∈R| x² = 1 ⇒ x = 0)
(x∈R| x² = 1 ⇒ x = 1)
(x∈R| x² = 1 ⇒ (x = 1 ∨ x = -1))
(x∈R| (x² = 1 ∧ x ≧ 0) ⇒ x = 1)
(x∈R| (x² = 1 ∧ x ≧ 0) ⇒ (x = 1 ∨ x = -1))
(x, y∈R| x² + y² = 1)
(x, y∈R| x² + y² = 4 ∧ x + y ≧0)
(x, y∈R| x² + y² = 4 ∧ x + y ≧ -1)
(x, y∈R| x² + y² = 1 ∨ x + y = 0)
(x, y∈R| x² + y² = 1 ⇒ x = 1)
(x, y∈R| x = 1 ⇒ x² + y² = 1)
(x, y∈R| (x = 1 ∧ y = 0) ⇒ x² + y² = 1)
(x, y∈R| x² + y² = 1 ⇒ x + y ≦ 2)
(x, y∈R| x² + y² = 1 ⇒ x + y ≦ 1)
(x, y∈R| x² + y² ≦ 1 ⇒ x + y ≦ 2)
(x, y∈R| x² + y² ≦ 1 ⇒ x + y ≦ 1)
(x, y∈R| (x² + y² ≦ 1 ∧ x + y ≦ 0) ⇒ x + y ≦ 1)

【練習問題 C の解答】1から10

1から10のスコット・ブラケットを図示すると次のようです。コンテキスト領域は、R = 直線で、赤い所がスコット・ブラケットの値（真理集合）です。赤くない所は真理集合の補集合、つまり反例集合です。

実数の区間を、閉区間 [a, b] 、開区間 (a, b) のように書くと：

〚x∈R| x < 0 ∨ 1 < x〛 = (-∞, 0)∪(1, +∞)
〚x∈R| 0 < x ∧ x < 1〛 = (0, 1)
〚x∈R| 0 < x ∧ 1 < x〛 = (1, +∞)
〚x∈R| x < 0 ⇒ x² = 1〛 = {-1}∪[0, +∞)
〚x∈R| x² = 1 ⇒ x < 0〛 = (-∞, 1)∪(1, +∞)
〚x∈R| x² = 1 ⇒ x = 0〛 = (-∞, -1)∪(-1, 1)∪(1, +∞)
〚x∈R| x² = 1 ⇒ x = 1〛 = (-∞, -1)∪(-1, +∞)
〚x∈R| x² = 1 ⇒ (x = 1 ∨ x = -1)〛 = (-∞, +∞)
〚x∈R| (x² = 1 ∧ x ≧ 0) ⇒ x = 1〛 = (-∞, +∞)
〚x∈R| (x² = 1 ∧ x ≧ 0) ⇒ (x = 1 ∨ x = -1)〛 = (-∞, +∞)

含意'⇒'を含む (x∈X| A⇒B) の形のコンテキスト付き論理式のスコット・ブラケットを求めるときは、いちいち悩まないで定義どおりに計算します。

〚x∈X| A⇒B〛 = 〚x∈X| A〛^c∪〚x∈X| B〛

例えば、"(n∈N| nは偶数 ⇒ n²は偶数)" のスコット・ブラケットならば：

    〚n∈N| nは偶数 ⇒ n²は偶数〛
  = 〚n∈N| nは偶数〛^c∪〚n∈N| n²は偶数〛
  = {n∈N| nは奇数}∪{n∈N| n²は偶数}

ここで、{n∈N| nは奇数}が真理集合に入ってますが、これを真理集合に入れないと、奇数の集合は真理集合の補集合、つまり反例の集合になってしまいます。奇数が反例なのではなくて、

偶数であって、その二乗は偶数ではない自然数

が反例です。

反例ではない自然数は正例、つまり真理集合＝スコット・ブラケットに入ります。コンテキスト領域（今の場合はN）の要素は、必ず正例か反例のどちらかです。「正例でも反例でもない」とか「正例でもあり反例でもある」なんて要素は在りません！「Yesとも言えるしNoとも言える」なんて答え方は、まったく許されないのです。

※注意：「nは偶数」は日本語ですが、"∃k∈N.(n = 2k)" とすれば形式化された命題になります。全部を形式化した形にすると長くなるので、一部を非形式的に日本語で書く略記はしばしば使います。定式化や理論構成自体は厳密でも、説明や表現はとても雑でエエカゲンなんです。