テンソル積とモノイド関手

その他

モノイド圏は、高次圏〈higher category〉の入り口、特殊な双圏（腐った用語法→「「余」と「双」の使い方がバラバラ」、「高次圏： 用語法と文脈（主に2次元） // だらしなくザンネンな用語法」）。通常圏論〈{ordinary category | 1-category} theory〉の常識（＝高次圏論の非常識）は通用しない。

  1. 圏同型はevil、圏同値で考えよ。
  2. モノイド関手（一般には高次関手）は、「ある条件を満たす関手」ではない。関手を台とする代数構造。
  3. モノイド自然変換は、代数構造のあいだの準同型、それなりの法則（これは等式）を要求される。
  4. 関手を矢とする図式は可換図式ではなくて、ペースティング図になる。たまたま可換図式になることはあるが。
  5. いつもどおり、用語法・記法は十分に腐っている。習慣的記法の奥にある整合的概念は自分で探る。
    1. 例：モノイド関手の構成素 ε: I → F(I) in D は実際は関手だがモノグサしてる。
    2. 例：モノイド関手のテンソル積 F\otimesF は、(F×F)＊(\otimes) の略記。
    3. 例: テキスト記法で理解するのは（不可能ではないが）かなり難しい（ストリング図、ストライプ図を利用）
    4. 腐り具合は「高次圏： 用語法と文脈（主に2次元）」

次のペースティング図（→「はてなブログで貧相なペースティング図」）が重要：

\require{AMScd} \begin{CD} PolyMat @= {} @>>> Mat \\ @VVV @.{\swarrow\!\!\!\swarrow} @VVV \\ StdPoly({\bf FdVect}) @>>> {} @= {\bf FdVect} \end{CD} \\ \:\\ \mbox{2-invertible in }{}_2{\bf SymMonCAT}^{\mathrm{tight}}

ここで：

  • Mat は、通常の行列圏にクロネッカー積でモノイド構造をいれたもの。
  • FdVect は、有限次元ベクトル空間にテンソル積でモノイド構造をいれたもの。
  • PolyMat は通常「テンソル」と呼ばれている多次元二分配列を射とする圏。対象は自然数のリスト。
  • PolyMat ←→ Mat の対応は、可変n進法・数表記〈numeral〉の算術的計算（割り算メイン）で構成。
  • StdPoly は「対称モノイド多圏（簡約版）」参照。
関係する余談：

様々な場面で次の系列、系列の一部が登場する。

\begin{CD} {\bf FO}^{\mathrm{inc}} @>>> {\bf FO} @>>> {\bf FO}^{\mathrm{onp}} @>>> {\bf FinSet} @>>> {\bf Set} \end{CD}

  • FOinc ： 標準有限全順序集合と（始端を保存する）包含写像の圏
  • FO ： 標準有限全順序集合と順序保存写像の圏
  • FOonp ： 標準有限全順序集合と順序を保存するとは限らない〈order non-preserving〉写像の圏
  • FinSet ： 有限集合の圏
  • Set ： 集合の圏

この系列（の一部）に沿ってナニカを一般化することが多い。