圏論で使う描き方まとめ - (2nd) 檜山正幸のキマイラ飼育記

ちょっとずつ追加・修正の予定。概念の解説はここではしない。描画法のみ列挙する。

基本
関手の関手性
自然変換の自然性
自然変換の横結合
圏の2-圏の構造（絵だけ）
一時的に追加：錐

基本

上下左右が入り乱れること：

ストリング図に関する比較的詳しい説明：

圏論の随伴をちゃんと抑えよう：お絵描き完全解説

後で出てくるタイプ・アノテーション〈プロファイル・アノテーション〉をルビ風に付ける方法は：

オーバーロード解決のために、振り仮名風アノテーション

以下に出てくる絵で、☆は単一対象と恒等射だけからなる自明圏。f::A⇒B:☆→C in CAT と f:A→B in C は適宜相互に置き換えて解釈する（これがコツ）。この手法については：

関手の関手性

図式順記法で、絵を書き写す。一時的に、関手の矢印は波矢印を使う（谷村省吾先生流）。

結合に関して：
$\require{AMScd}% \newcommand{\hyph}{\mbox{-}}% \newcommand{\cat}[1]{{\mathcal {#1}}}% \newcommand{\incat}{\:\: \mbox{in}\:}% \newcommand{\Comm}{\mbox{commutative}} % \newcommand{\For}{\mbox{For}\:\:} % \newcommand{\id}{\mbox{id}} % \newcommand{\from}{\leftarrow}% \newcommand{\fto}{\rightsquigarrow}% \newcommand{\ffrom}{\leftsquigarrow}% \newcommand{\idt}{\:\:\:\:}% \newcommand{\S}{\downdownarrows} % % \forall (f:A \to B,\; g:B \to C \incat \cat{C}).[ \\ \idt (\overset{A\to B \incat\cat{C}}{f} \,;\, \overset{B\to C\incat\cat{C}}{g}).\overset{\cat{C}\fto\cat{D}}{F} = (\overset{A\to B\incat {C}}{f} \,.\, \overset{\cat{C}\fto\cat{D}}{F}) ; (\overset{B\to C\incat {C}}{g} \,.\, \overset{\cat{C}\fto\cat{D}}{F}) \\ ]$

恒等射に関して：
$\forall (A \incat \cat{C}).[ \\ \idt \overset{A \to A \incat \cat{C}}{\id_A} \,.\, \overset{\cat{C}\fto\cat{D}}{F} = \overset{A.F \to A.F \incat \cat{D}}{\id_{A.F}} \\ ]$

アノテーションが鬱陶しいので除くと：

$\forall (f:A \to B,\; g:B \to C \incat \cat{C}).[ \\ \idt ({f} \,;\, {g}).{F} = ({f} \,.\, {F}) ; ({g} \,.\, {F}) \\ ]$

$\forall (A \incat \cat{C}).[ \\ \idt {\id_A} \,.\, {F} = {\id_{A.F}} \\ ]$

反図式順記法で：

$\forall (f:A \to B,\; g:B \to C \incat \cat{C}).[ \\ \idt F({g} \circ {f}) = F(g) \circ F(f) \\ ]$

$\forall (A \incat \cat{C}).[ \\ \idt F({\id_A}) = \id_{F(A)} \\ ]$

ちなみに、同じことをストライプ図で描くと：

自然変換の自然性

絵のレイアウトをある程度保存して写し取ると：

$\forall (f:A \to B \incat \cat{C}).[ \\ \idt \begin{matrix} A & . & \alpha \\ f & . &G \\ \end{matrix} = \begin{matrix} f & . & F \\ B & . & \alpha \\ \end{matrix} \:=\: \begin{matrix} f & . &\alpha \\ \end{matrix}\\ ]$

縦方向の結合を';'を使って1次元的に書けば：

$\forall (f:A \to B \incat \cat{C}).[ \\ \idt (A.\alpha) ; (f.G) = (f.F) ; (B.\alpha) = f.\alpha \\ ]$

反図式順では：

$\forall (f:A \to B \incat \cat{C}).[ \\ \idt G(f) \circ \alpha_A = (\alpha_B) \circ F(f) = \alpha_f \\ ]$

等式を可換図式で書けば：

$\forall (f:A \to B \incat \cat{C}).[ \\ \idt \begin{CD} F(A) @>{\alpha_A}>> G(A) \\ @V{F(f)}VV @VV{G(f)}V \\ F(B) @>{\alpha_B}>> G(B) \\ \end{CD} \\ \:\\ \idt \Comm \incat \cat{D} \\ ]$

自然変換の横結合

状況をペースティング図もどきで描くと：

$\newcommand{\S}{\downdownarrows} % \begin{CD} \cat{C} @= {} @>{F}>> \cat{D} @= {} @>{K}>> \cat{E} \\ @| @.\S\alpha @| @.\S\beta @| \\ \cat{C} @= {} @>>{G}> \cat{D} @= {} @>>{H}> \cat{E} \\ \end{CD}$

定義の等式の第二項と第三項のあいだの等式を確認する。

この等式の一部を可換図式（βの自然性）で書けば：

$\For A.\alpha: A.F \to A.G \:\: [\\ \idt \begin{CD} (A.F).K @>{(A.F).\beta}>> (A.F).H \\ @V{(A.\alpha).K}VV @VV{(A.\alpha).H}V \\ (A.G).K @>{(A.G).\beta}>> (A.G).H \\ \end{CD} \\ \idt \Comm \incat \cat{E} \\ ]$

横結合の定義がwell-definedであることと、自然変換のエレベーター規則〈交替律〉が示せた。

記法とレイアウトは色々なので、上の可換図式（を含む命題）を、別な記法・レイアウトで描いてみる。

$\For \begin{CD} F(A)\\ @V{\alpha_{A}}VV \\ G(A) \\ \end{CD}\:\:\left[{ \idt \begin{CD} H(F(A)) @<{\beta_{F(A)}}<< K(F(A)) \\ @V{H({\alpha_A})}VV @VV{K(\alpha_A)}V \\ H(G(A)) @<{\beta_{G(A)}}<< K(G(A)) \\ \end{CD} \\ \idt \Comm \incat \cat{E} }\right]$

人によっては、Aを省略して次のような書き方を使う場合もある。もちろん、矢印方向や縦横の取り方はバラバラ。

$\require{AMScd} \begin{CD} H\circ F @<{\beta\circ F}<< K\circ F \\ @V{H \circ \alpha}VV @VV{K \circ \alpha}V \\ H\circ G @<{\beta\circ G}<< K\circ G \\ \end{CD} \\ \Comm \incat \cat{E}$