多様体様構造メモ - (2nd) 檜山正幸のキマイラ飼育記

$\newcommand{\id}{ \mathrm{id}}%$

多様体様構造の定義では、事前に次の指定が必要。

通常の多様体では、

しかし、これに限るわけではない。前多様体様構造として「連結成分ごとに第二可算」の条件のほうが扱いやすい。自明対象も色々な選択肢がある。

自明対象の選択を変えても、得られる“多様体概念”が変わらないことは証明が必要。だが、あまり証明されてないようだ。

自明ベクトルバンドルの選択も色々ある。広いものと狭いものと中間的なものを挙げると：

これも、自明対象の選択を変えても、得られる“ベクトルバンドル概念”が変わらないことは証明が必要。

$X$ が多様体様構造、部分対象達 $S_\alpha \subseteq X \;\mbox{ for }\alpha\in I$ は被覆で、 $(t_\alpha: S_\alpha \to T_\alpha )_{\alpha\in I}$ は $X$ のアトラスとする。

$S_{\alpha\, \beta} := S_\alpha \cap S_\beta \subseteq X$
$S_{\beta\, \alpha} = S_{\alpha\, \beta}$
$T_{\alpha | \beta} := Im(t_\alpha |_{ S_{\alpha\, \beta} }) \subseteq T_\alpha$
$T_{\beta | \alpha} := Im(t_\beta |_{ S_{\alpha\, \beta} } )\subseteq T_\beta$
$T_{\alpha | \alpha} := T_\alpha$
$g_{\alpha\rightarrow \beta} = g_{\beta \leftarrow \alpha} := t_\beta \circ (t_\alpha)^{-1} : T_{\alpha | \beta} \to T_{\beta | \alpha}$

この記号の約束のもとで：

$T_\alpha, T_\beta, T_{\alpha | \beta}, T_{\beta | \alpha}$ はすべて自明対象である。
$g_{\beta \leftarrow \alpha} : T_{\alpha | \beta} \to T_{\beta | \alpha} \;\mbox{ for }\alpha, \beta\in I$ はすべて自明対象のあいだの変換（たちのよい同型射）である。

$(g_{\beta \leftarrow \alpha} )_{\alpha, \beta\in I}$ を“変換群”と呼ぶことがあるが、実際は群より複雑な構造で、 $I$ の直積でインデックスされた自明対象と変換から構成される。

$g_{\alpha\leftarrow \alpha} = \id_{T_{\alpha | \alpha}} : T_{\alpha | \alpha} \to T_{\alpha | \alpha}$ 単位律に類似
$g_{\alpha\leftarrow \beta} = (g_{\beta\leftarrow \alpha})^{-1} : T_{\beta|\alpha} \to T_{\alpha|\beta}$ 逆元の存在に類似
$g_{(\gamma \leftarrow \beta)|\alpha} \circ g_{(\beta \leftarrow \alpha)|\gamma} = g_{(\gamma \leftarrow \alpha) |\beta} : T_{\alpha | \beta | \gamma} \to T_{\gamma | \beta | \alpha}$ 結合律に類似

こういう構造をなんと呼ぶか知らないが、群と呼ぶのはマズいだろう。