ゲージ、ゲージ変換、ゲージ変換群 - (2nd) 檜山正幸のキマイラ飼育記

「ゲージ＝局所自明化」という同義性は大丈夫だと思って信頼する。ベクトルバンドル以外のファイバーバンドルでもゲージは意味を持つが、ベクトルバンドルを扱う。 $\newcommand{\R}{ {\bf R} }% \newcommand{\tot}{\mathrm{tot}}% \newcommand{\base}{\mathrm{base}}% \newcommand{\id}{\mathrm{id}}%$

コミュニケーションを困難にする問題点：

1. 単一のゲージとゲージの集まりが区別されない。特に日本語では単数・複数の区別が読み取れない。
2. ゲージと底空間の関係が曖昧なまま、ハッキリしない。
3. ゲージ変換群が「ほんとに群」か「群みたいなもの」かがハッキリしない。

対処法：

1. 「単一ゲージ〈a gauge〉」と「ゲージ族〈a family of gauges〉」で単複の区別をする。
2. IOB＝identity-on-base という形容詞を使う。
3. 群でないときは群とは言わないことにする。とりあえずゲージ変換族〈a family of gauge {transformations | transitions}〉とかにする。

接頭辞「非〈non-〉」は排他的意味ではなくて、「‥‥を仮定しない」の意味で使う。

非IOBゲージ＝必ずしもIOBとは限らないゲージ

IOBゲージと非IOBゲージ

ベクトルバンドルの一般的なゲージは：

$\xymatrix{ {E} \ar[d]_{\pi} &{E|_U} \ar[d]_{\pi|_U} \ar@{}[l]|{\supseteq} \ar[r]^{t^\tot} &{W\times \R^r} \ar[d]_{\pi_1} \\ {M} &{U} \ar@{}[l]|{\supseteq} \ar[r]^{t^\base} &{W} }$

例えば、 $W\subseteq_{\mathrm{open}}\R^n$ とかの状況。

それに対して、次のようなゲージをIOB〈identity-on-base〉なゲージという。

$\xymatrix{ {E} \ar[d]_{\pi} &{E|_U} \ar[d]_{\pi|_U} \ar@{}[l]|{\supseteq} \ar[r]^{t^\tot} &{U\times \R^r} \ar[d]_{\pi_1} \\ {M} &{U} \ar@{}[l]|{\supseteq} \ar@{=}[r]^{t^\base = \id_U} &{U} }$

IOBを仮定しない一般的なゲージを非IOBゲージとも呼ぶ。

単一ゲージとゲージ族

添字集合 $I$ で添字付けられたゲージの族は、

$(t_\alpha)_{\alpha\in I} = \left( (t^\tot_\alpha, t^\base_\alpha)\right)_{\alpha\in I}$

と書ける。族の成分が非IOBのときとIOBのとき、それぞれ：

$\xymatrix{ {E} \ar[d]_{\pi} &{E_\alpha} \ar[d]_{\pi_\alpha} \ar@{}[l]|{\supseteq} \ar[r]^{t^\tot_\alpha} &{W_\alpha\times \R^r} \ar[d]_{\pi_1} \\ {M} &{U_\alpha} \ar@{}[l]|{\supseteq} \ar[r]^{t^\base_\alpha} &{W_\alpha} }$

$\xymatrix{ {E} \ar[d]_{\pi} &{E_\alpha} \ar[d]_{\pi_\alpha} \ar@{}[l]|{\supseteq} \ar[r]^{t^\tot_\alpha} &{U_\alpha\times \R^r} \ar[d]_{\pi_1} \\ {M} &{U_\alpha} \ar@{}[l]|{\supseteq} \ar@{=}[r] &{U_\alpha} }$

IOBゲージ族のときは、底空間部分の $t^\tot_\alpha$ は消えてしまい、事情が簡単になる。だが、いつでも「ゲージ＝ IOBゲージ」ではない。例えば次のようなケースは珍しくない；底空間部分は局所座標。

$t^\base_\alpha = x_\alpha = (x_\alpha^1, \cdots, x_\alpha^n): M\supseteq U_\alpha \to W_\alpha \subseteq \R^n$

ゲージ変換が群元となるとき

IOBゲージ族のとき底空間部分は省略して $t_\alpha = t^\tot_\alpha$ としてよい。 $(t_\alpha)_{\alpha\in I}$ はIOBゲージ族とする。ゲージ変換族を次のように定義する。

$\mbox{For }\alpha, \beta \in I\\ \psi_{\beta\, \alpha} = \psi_{\beta\leftarrow \alpha} := t_{\beta|\alpha} \circ (t_{\alpha | \beta})^{-1}$

$\xymatrix{ {} &{U_{\alpha\, \beta}\ltimes \R^r} \ar[dd]^{\psi_{\beta\, \alpha}} \\ {E_{\alpha,\beta}} \ar[ur]^{t_{\alpha|\beta}} \ar[dr]_{t_{\beta|\alpha}} &{} \\ {} &{U_{\alpha\, \beta}\ltimes \R^r} }$

$U_{\alpha, \beta} := U_\alpha \cap U_\beta$
$E_{\alpha. \beta} := (\pi^{-1}(U_{\alpha\, \beta}) \to U_{\alpha, \beta} )$
$U_{\alpha, \beta}\ltimes \R^r := ( U_{\alpha, \beta}\times \R^r \to U_{\alpha, \beta} )$
$t_{\alpha|\beta} := t_{\alpha}|_{E_{\alpha\, \beta}}$
$t_{\beta|\alpha} := t_{\beta}|_{E_{\alpha\, \beta}}$

この状況でも、「ゲージ変換の族は群をなす」とは言い難い。言えることは、族のメンバーである個々のゲージ変換 $\psi_{\beta\, \alpha}$ がそれぞれ（別々かも知れない）群の元とみなせること。

次のように定義する。

$\mathcal{GL}_{\alpha\, \beta} := C^\infty(U_{\alpha\, \beta}, GL(n, \R)) \cong GL(n, C^\infty(U_{\alpha\, \beta}) )$

すると、 $\mathcal{GL}_{\alpha\, \beta}$ は $\alpha, \beta$ ごとに（原則的に別々な）群になる。

$\psi_{\beta\, \alpha} \in aut(U_{\alpha, \beta}\ltimes \R^r)$ （バンドル自己同型射）だが次の同型がある。

$\quad aut(U_{\alpha, \beta}\ltimes \R^r) \\ \cong C^\infty(U_{\alpha, \beta}, aut_\R(\R^r)) \\ = C^\infty(U_{\alpha, \beta}, GL(r, \R) ) \\ = \mathcal{GL}_{\alpha\, \beta}$