関数 $`f:{\bf R} \to {\bf R}`$ の連続性は、高校あたりだと点列連続性で定義していると思うし、それで十分だろう。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} }
%`$
実数の点列とは、$`a:{\bf N} \to {\bf R}`$ という関数。その全体は $`\mrm{Map}({\bf N}, {\bf R})`$ と書く。次は同値〈同義〉。
- $`a\in \mrm{Map}({\bf N}, {\bf R})`$
- $`a`$ は（実数の）点列
習慣により、$`a(k)`$ を $`a_k`$ とも書く。点列の極限（下の等式）の正確な定義はしない、とりあえずは雰囲気的理解でよしとする。
$`\quad \lim_{k\to \infty}a_k = b`$
関数 $`f:{\bf R} \to {\bf R}`$ が点 $`c\in {\bf R}`$ で連続だとは、
$`\forall a\in \{a\in \mrm{Map}({\bf N}, {\bf R}) \mid \lim_{k\to \infty}a_k = c \}.\\
\quad \lim_{k\to \infty}f(a_k) = f(c)`$
一点での関数の連続性を $`\mrm{IsContAt}(f, c)`$ と書くことにする。
関数 $`f:{\bf R} \to {\bf R}`$ が連続関数だとは、
$`\forall c\in {\bf R}.\mrm{IsContAt}(f, c)`$
定義を見たらすぐさま事例：
- 点 $`0\in {\bf R}`$ で連続な関数の例
- 点 $`0\in {\bf R}`$ で連続でない関数の例
- 点 $`0\in {\bf R}`$ で連続だが、 $`1\in {\bf R}`$ で連続でない関数の例
- 連続関数の例
- 不連続（連続でない）関数の例
関数 $`f:{\bf R} \to {\bf R}`$ が点 $`c\in {\bf R}`$ で微分可能だとは、次の値が存在すること。
$`\quad \lim_{h\to 0}\frac{f(c + h) - f(c)}{h}`$
一点での関数の微分可能性を $`\mrm{IsDiffAt}(f, c)`$ と書くことにする。
関数 $`f:{\bf R} \to {\bf R}`$ が微分可能関数だとは、
$`\forall c\in {\bf R}.\mrm{IsDiffAt}(f, c)`$
定義を見たらすぐさま事例：
- 点 $`0\in {\bf R}`$ で微分可能な関数の例
- 点 $`0\in {\bf R}`$ で微分可能でない関数の例
- 点 $`0\in {\bf R}`$ で微分可能だが、 $`1\in {\bf R}`$ で微分可能でない関数の例
- 微分可能関数の例
- 微分不可能（微分可能でない）関数の例
- 連続だが微分可能ではない関数の例
関連する定理：
- 微分可能な関数 $`f:{\bf R}\to{\bf R}`$ は連続である。
