第1回 宿題＋追加説明 (C A2P1)

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以下のナントカの例に対して、実例がほんとにナントカであることを証明（自分で確信が持てるまで確認）せよ。素材である集合と関数は与えられているので、法則を満たすことを証明すればよい。

※ 練習問題の解答は「解答（特にないけど）： 第1回 宿題＋追加説明 (C A5R1)」にあります（ないけど）。

モノイドの例

モノイドの定義は p.9。

  1. 　
    1. Nは特定の集合（自然数の集合）
    2. モノイドの書き方は p.9
  2. N≧1 = {n∈N | n≧1}
  3. Mat[N](2, 2), ・, I2 は行列の圏の説明参照。I2 = I(2)
  4. max(x, y) = if (x ≦ y) y else x
  5. 　
    1. ∞ は自然数でなければなんでもいい。順序の定義は下の個別固有な定義を参照
    2. min(x, y) = if (x ≦ y) x else y
  6. 　
    1. ⊥はなんでもいいが、Xには含まれないモノ。記号'⊥'（'T'のひっくり返し）は「ボトム」と呼ぶ。
    2. leftは、下の個別固有な定義を参照
  7. プラス記号をオーバーロードしている。通常の足し算とは違う。下の個別固有な定義を参照。「「イチ、ニ、サン、イッパイ」の算数と分配代数」も参照。
  8. Pow(X)、∪、∅ は、別資料「補足： 基本的な概念・用語」参照。参照しても説明はないけど。
  9. ∩も、別資料「補足： 基本的な概念・用語」参照。
  10. △は、下の個別固有な定義を参照。
  11. ♡は、下の個別固有な定義を参照。
  12. 　
    1. 一般に、集合 A, B に対して、Map(A, B) は、AからBへのすべての写像からなる集合。
    2. ; は写像の結合〈合成〉の図式順〈{diagrammatic | graphical | pictorial} order〉演算子記号。図式順とは「左が先〈前〉、右が後」の順序のこと。
    3. idXは、集合Xの恒等写像。∀x∈X. idX(x) = x
  13. X*、#、ε については、「補足： 基本的な概念・用語」のリストのところを参照。
  14. 自明モノイドとは、要素がただ1つであるモノイド。
半環の例

半環の定義は p.9。

  1. お馴染みだろう。
  2. 行列の圏の説明参照。
  3. 間違い訂正して max。
  4. Xの部分集合の半環、∪が足し算。
  5. Xの部分集合の半環、∩が足し算。
  6. 間違い訂正して max, 1。△は、下の個別固有な定義を参照。
  7. (M, ・, e) はモノイドで、
    1. ∪、∅ は集合の演算と空集合。
    2. A, B∈Pow(M) に対して、A◎B = {x・y∈M | x∈A かつ y∈B}
  8. 　
    1. MonMap(N, N) = {f:N→N 写像 | ∀n, m∈N. f(n + m) = f(n) + f(m)} = (足し算すると値も足し算になる写像の集合)
    2. 写像の足し算は、(f + g)(n) = f(n) + g(n)
    3. ∀n∈N. C0(n) = 0
    4. ; は写像の結合〈合成〉の図式順演算子記号。
    5. IdNは、Nの恒等写像。大文字'I'になっているのに意味はない。
順序集合の例

順序集合の定義は p.8。

  1. お馴染みだろう。
  2. お馴染みだろう。
  3. 集合の包含関係、お馴染みだろう。
  4. A, B∈Mat[N](2, 2) に対して、A≦B ⇔ ∀i, j∈{1, 2}. Ai,j ≦ Bi,j
  5. (A, ≦) を順序集合として、f, g∈Map(X, A) に対して、f≦g ⇔ ∀x∈X. f(x)≦g(x)
  6. (n, m), (n', m')∈N2 に対して、(n, m)≦(n', m') ⇔ n≦n' かつ m≦m'
  7. これは次回説明する。
圏の例

圏の定義は p.10。

  1. しりとりの圏 →「はじめての圏論 その第1歩：しりとりの圏」参照
  2. 行列の圏 →「はじめての圏論 その第2歩：行列の圏」参照
  3. p.7 の「そう言えば」の圏

[補足]「そう言えば」の圏は、サンプルのために作為的にでっち上げた印象があります。が、少し変更すると、特定の状況で実際に出現する圏です。

有限体の圏をFinFieldとします。FinFieldの射は、体の拡大（体のあいだの単射準同型写像）とします。有限体Fの、集合としての基数〈cardinality〉を card(F) とします。i:F→F' という拡大（単射）が存在するなら、crad(F)はcard(F')の約数になるので、card:FinField→(Nの約数倍数順序からのやせた圏) という関手になります。この関手の像圏は、「そう言えば」の圏を少し縮めたものです。[/補足]