ベクトル空間、アフィン空間、射影空間

その他 uok
次元nの状況
  • {\bf A}^n = \{x\in {\bf R}^{n+1}\mid x_{n+1} = 1\}
  • i_1^n : {\bf A}^n \to {\bf R}^{n+1} 標準的埋め込み（包含写像）
  • U^n \hookrightarrow {\bf P}^n 開集合の埋め込み（これも包含写像）
  • {\bf A}^n \overset{\cong}{\to} U^n 同型
  • \pi^n: {\bf R}^{n+1} \;\circ\!\!\to {\bf P}^n 商集合への射影、ただし、ゼロでは未定義な部分写像、丸印付き矢印は「一点で未定義」を表す。

\xymatrix { % 1 {} & { {\bf A}^n } \ar[dl]_{\cong} \ar[dr]^{i_1^n} & {} \\ %2 {U^n} \ar@{^{(}->}[dr] & {} & {{\bf R}^{n+1}} \ar@{o->}[dl]^{\pi^n} \\ %3 {} & {{\bf P}^n} & {} }\\ \mbox{commutative}

{\bf P}^n_\infty := {\bf P}^n \setminus U と置くと、定義から {\bf P}^n = U \coprod {\bf P}^n_\infty 。この {\bf P}^n_\infty は無限遠部分で、

  • {\bf P}^n_\infty \cong {\bf P}^{n - 1}

この同型は次節の i^{n-1}_\infty で与えられる。

隣り合う次元では
  • i^n_0:{\bf R}^n \to {\bf R}^{n+1} 最後の座標成分をゼロにする埋め込み
  • i^{n-1}_\infty:{\bf P}^{n-1} \to {\bf P}^{n} 無限遠部分として埋め込む

\xymatrix { % 1 {} & { {\bf A}^{n-1} } \ar[dl]_{\cong} \ar[ddr]^{i_1^{n-1}} & {} % & {} & { {\bf A}^n } \ar[dl]_{\cong} \ar[ddr]^{i_1^n} & {} \\ %2 {U^{n-1}} \ar@{^{(}->}[ddr] & {} & {} % & {U^n} \ar@{^{(}->}[ddr]|\hole & {} & {} \\ %3 {} & {} & {{\bf R}^{n}} \ar@{o->}[dl]^(.35){\pi^{n-1}} \ar[rrr]^(.35){i^n_0} % & {} & {} & {{\bf R}^{n+1}} \ar@{o->}[dl]^{\pi^n} \\ %4 {} & {{\bf P}^{n-1}} \ar[rrr]^{i^{n-1}_\infty} & {} % & {} & {{\bf P}^n} & {} }\\ \mbox{commutative}

上の図の一部を取り出して、次の写像を作れる。

  • [\mbox{inclusion}, i^{n-1}_\infty]: U^n \coprod {\bf P}^{n-1} \to {\bf P}^n

これは、集合としては同型、位相的・多様体的には open embeddig + closed embedding 。open embedding は、コンパクト化を定義する。また、Im(i^{n-1}_\infty) = {\bf P}^n_\infty 。

n = 0, n -1 = -1 のとき

アフィン空間、射影空間は、(-1)次元まで定義できる。

\xymatrix { % 1 {} & { {\bf A}^{-1} =\emptyset } \ar[dl]_{\cong} \ar[ddr]^{i_1^{-1}} & {} % & {} & { {\bf A}^0 = \{1\}} \ar[dl]_{\cong} \ar[ddr]^{i_1^0} & {} \\ %2 {U^{-1}} \ar@{^{(}->}[ddr] & {} & {} % & {U^0} \ar@{^{(}->}[ddr]|\hole & {} & {} \\ %3 {} & {} & {{\bf R}^{0} = \{0\}} \ar@{o->}[dl]^{\pi^{-1}} \ar[rrr]^(.35){i^0_0} % & {} & {} & {{\bf R}^{1}} \ar@{o->}[dl]^{\pi^0} \\ %4 {} & {{\bf P}^{-1} = \emptyset} \ar[rrr]^{i^{-1}_\infty} & {} % & {} & {{\bf P}^0} & {} }\\ \mbox{commutative}