ベクトル解析と微分形式

その他 uok

\newcommand{\grad}{\mathrm{grad}} \newcommand{\div}{\mathrm{div}} \newcommand{\curl}{\mathrm{curl}}
U\subseteq_{\text{open}}{\bf R}^3 として、

  1. C^\infty(U) = Scal(U) は、U 上の関数＝スカラー場 の空間（可換環）
  2. \Omega^p(U) は、U 上のp次微分形式の空間（C^\infty(U)-加群）
  3. Vect(U) は、U 上の接ベクトル場の空間（C^\infty(U)-加群）
  4. \star:\Omega^p(U) \to \Omega^{3-p}(U) は、ホッジスター（双対の同型写像）

以下「\cdots (U)」の部分は省略、ダッシュ〈プライム〉を付けると「疑」の意味。接ベクトル＝方向微分作用素は次のように略記。

\quad X = \frac{\partial}{\partial x}, Y = \frac{\partial}{\partial y}, Z = \frac{\partial}{\partial z}

次のように同一視可能：

\xymatrix{ %0 {Scal} %1 \ar@{=}[r] &{\Omega^0} %2 \ar@{<->}[r]^{\star} &{\Omega^3} %3 \ar@{<->}[r]^{\cong} &{Scal'} %4 \\ %1 {Vect} %1 \ar@{<->}[r]^{\cong} &{\Omega^1} %2 \ar@{<->}[r]^{\star} &{\Omega^2} %3 \ar@{<->}[r]^{\cong} &{Vect'} %4 \\ %2 {Vect'} %1 \ar@{<->}[r]^{\cong} &{\Omega^2} %2 \ar@{<->}[r]^{\star} &{\Omega^1} %3 \ar@{<->}[r]^{\cong} &{Vect} %4 \\ %3 {Scal'} %1 \ar@{<->}[r]^{\cong} &{\Omega^3} %2 \ar@{<->}[r]^{\star} &{\Omega^0} %3 \ar@{=}[r] &{Scal} %4 }

それぞれの空間の標準基底は以下。横方向に同一視する。

\begin{array}{cccc} %0 {1} %1 &{1} %2 &{dx\wedge dy\wedge dz} %3 &{1'} %4 \\ %1 {X, Y, Z} %1 &{dx, dy, dz} %2 &{dy\wedge dz, dz\wedge dx, dx \wedge dy} %3 &{X', Y', Z'} %4 \\ %2 {X', Y', Z'} %1 &{dy\wedge dz, dz\wedge dx, dx \wedge dy} %2 &{dx, dy, dz} %3 &{X, Y, Z} %4 \\ %3 {1'} %1 &{dx\wedge dy\wedge dz} %2 &{1} %3 &{1} %4 \end{array}

微分作用素も図に書き込む。d の右肩の番号は累乗ではなくて次数。

\xymatrix{ %0 {Scal} %1 \ar@{=}[r] \ar[d]_{\grad} &{\Omega^0} %2 \ar@{<->}[r]^{\star} \ar[d]_{d^0} &{\Omega^3} %3 \ar@{<->}[r]^{\cong} &{Scal'} %4 \\ %1 {Vect} %1 \ar@{<->}[r]^{\cong} \ar[d]_{\curl} &{\Omega^1} %2 \ar@{<->}[r]^{\star} \ar[d]_{d^1} &{\Omega^2} %3 \ar@{<->}[r]^{\cong} \ar[u]_{d^2} &{Vect'} %4 \ar[u]_{\div} \\ %2 {Vect'} %1 \ar@{<->}[r]^{\cong} \ar[d]_{\div} &{\Omega^2} %2 \ar@{<->}[r]^{\star} \ar[d]_{d^2} &{\Omega^1} %3 \ar@{<->}[r]^{\cong} \ar[u]_{d^1} &{Vect} %4 \ar[u]_{\curl} \\ %3 {Scal'} %1 \ar@{<->}[r]^{\cong} &{\Omega^3} %2 \ar@{<->}[r]^{\star} &{\Omega^0} %3 \ar@{=}[r] \ar[u]_{d^0} &{Scal} %4 \ar[u]_{\grad} }

注意：右列と左列は可換図式になっているが、真ん中の3つの四角形は可換とは言えない。

例えば、スカラー場〈関数〉 f に対して \div (\grad\, f) を計算するには、「左上の Scal から下に下がって、一番右まで行ってから上に上がり、そこから一番左まで戻る」という経路を辿って計算する。横移動の部分が暗黙の同一視。

さらに、\mathfrak{so}(3) \cong {\bf R}^3 から、無限小回転ベクトルと並進ベクトルが同一視可能となり、実際はもっとややこしくなる。

  • 3次元はラッキー過ぎて、かえってややこしい