- 圏論化は一通りには決まらない。
- 現状、圏論化はscienceではなくart。
- それでもできるだけ系統的に圏論化したい。
圏論化の前
非可換環は「必ずしも可換とは限らない環」のこと。
| 足し算あり | 足し算なし |
|---|---|
| 非可換環 | モノイド |
| 可換環 | 可換モノイド |
| R-左加群 | M-左作用 |
| R-右加群 | M-右作用 |
| (R, S)-両側加群 | (M, N)-両側作用 |
- 非可換環上の加群は難しいので、スカラー環は可換に限定して、後述の代数〈多元環〉として扱うのが普通。
- ただし、森田同値などでは非可換環上の両側加群を扱う。
- 右、左、両側が本質的に異なるわけではないが区別するのが普通だし、区別するほうが便利。
| 足し算あり | 足し算なし |
|---|---|
| R-左代数 | ？ |
| R-右代数 | ？ |
| (R, S)-両側代数 | ？ |
Kが可換環ならば、左・右・両側の区別をしなくても問題ないので：
| 足し算あり | 足し算なし |
|---|---|
| K-加群 | 可換なLのL-作用 |
| K-代数 | ？ |
| K-可換代数 | ？ |
圏論化の前と圏論化の後の名前
事例： semiring = rig の圏論化
- 個別固有の名前 ： distributive bimonoidal category
- もとの構造名 + 形容詞語尾 ＋ "圏" ： semiringal category
- もとの構造名 ＋ "圏" ： semiring category, rig category
- "2" + もとの構造名 ： 2-semiring, 2-rig
参考：
「2-」を付けるのが楽なので、将来的には主流になりそう。
アクテゴリー関連のネーミング
Kは可換環、R, Sは非可換かもな環。
| 足し算あり | 足し算なし | 圏論化 |
|---|---|---|
| 非可換環 | モノイド | -, モノイド圏 |
| 可換環 | 可換モノイド | -, 対称モノイド圏 |
| R-左加群 | M-左作用 | M-左加群圏, M-左アクテゴリー |
| R-右加群 | M-右作用 | M-右加群圏, M-右アクテゴリー |
| (R, S)-両側加群 | (M, N)-両側作用 | (M, N)-両側加群圏, (M, N)-両側アクテゴリ |
| R-左代数 | ？ | M-左代数圏, - |
| R-右加群 | ？ | M-右代数圏, - |
| (R, S)-両側代数 | ？ | (M, N)-右代数圏, - |
| K-加群 | 可換なLのL-作用 | 対称なL上のL-加群圏, L-アクテゴリー |
| K-代数 | ？ | 対称なL上の L-代数圏, - |
| K-可換代数 | ？ | 対称なL上の L-対称代数圏, - |
困ったところ：
- 足し算なしの場合の構造に名前がない。
- 圏に関しては「可換」を付けにくい。「対称」とか「ブレイド」。
- 「2-」を付ける流儀は足し算なしの構造名をもとにしている。モノイド圏を2-モノイドと呼ぶのはよいが、2-環とは呼ばない。
- ある程度は合意されている複数のネーミングルールのすべてに従うとネーミングが出来ない。
妥協案として、台圏の性質を「M-アクテゴリー」に前置する方法は現状では確かに最良かも。monoidal M-actegory, symmetric monoidal M-actegory
