別な紛らわしい例

uok その他

記号の乱用、略記の原則は：

  • 似たモノは同じ記号で表して区別はしない。

\Omega^p または A^p のような記号で表される「p次微分形式を作る関手」も乱用・略記される。（右肩の op は反対圏、反変関手を表すために使う。） \newcommand{\op}{\mathrm{op}}% \newcommand{\hyp}{\text{-}}%

  1. \Omega^p: {\bf Man}^\op \to {\bf Mod}
  2. \Omega^p: {\bf VectBdl}[M] \to {\bf VectBdl}[M]
  3. \Omega^p: C^\infty(M)\hyp{\bf Mod} \to C^\infty(M)\hyp{\bf Mod}
  4. \Omega^p: {\bf VectBdl}[M] \to C^\infty(M)\hyp{\bf Mod}

左肩に番号を付けて識別することにして：

\quad {}^1\Omega^p (M) := \Gamma_M(\bigwedge^p_M(T^*M) ) \\ \quad {}^2\Omega_M^p (E) := E \otimes_M \bigwedge^p_M(T^*M) \\ \quad {}^3\Omega_M^p (A) := A\otimes_{C^\infty(M)} \Gamma_M(\bigwedge^p_M(T^*M) ) \\ \quad {}^4\Omega_M^p (E) := \Gamma_M(E)\otimes_{C^\infty(M)} \Gamma_M(\bigwedge^p_M(T^*M) )

これらが似ているのは事実で、例えば：

\quad \quad {}^1\Omega^p (M) = {}^4\Omega_M^p (M\ltimes {\bf R})

次の可換図式も成立する。

\xymatrix{ {{\bf VectBdl}[M]} \ar[r]^{{}^2\Omega_M^p} \ar[d]_{\Gamma_M} \ar[dr]^{{}^4\Omega_M^p} &{{\bf VectBdl}[M]} \ar[d]^{\Gamma_M} \\ {C^\infty(M)\hyp{\bf Mod}} \ar[r]_{{}^3\Omega_M^p} &{C^\infty(M)\hyp{\bf Mod}} }\\ \mbox{commutative in }{\bf CAT}