指標に関しては、「指標と不完全インスタンス」の最初の2節を参照。抽象的な概念を簡潔・正確に伝達するには指標が便利。
無限ホテルのような構造の抽象的定式化として Successor という名前の指標を定義する。この指標は、構成素名〈役割ラベル〉として s と p を導入する。
signature Successor {
0-mor X in Set
0-mor a in X // 0-圏の0-射の宣言
let Y := X＼{a} // 便宜上の名前 Y を導入
1-mor s : X → Y in Set
1-mor p : Y → X in Set
2-mor s-p-id :: s;p ⇒ id_X : X → X in Set
2-mor p-s-id :: p;s ⇒ id_Y : Y → Y in Set
}キーワードをより馴染みやすいものにするなら：
signature Successor {
sort X in Set
element a in X
let Y := X＼{a} // 便宜上の名前 Y を導入
operation s : X → Y in Set
operation p : Y → X in Set
equation s-p-id :: s;p = id_X : X → X in Set
equation p-s-id :: p;s = id_Y : Y → Y in Set
}モデル〈インスタンス〉は、指標により定義された一般概念の具体例。
// サクセッサーの典型例
model NatSucc of Successor {
X := Nat
a := 0
s := λn∈Nat.( n + 1 ∈(Nat＼{0}) )
p := λm∈(Nat＼{0}).( m - 1 ∈Nat )
s-p-id := (∀n∈Nat.( p(s(n)) = n ) の証明)
p-s-id := (∀m∈(Nat＼{0}).( n(p(m)) = m ) の証明)
}用語法の定義。
vocabulary Successor {
"サクセッサー" :=> Successor // 抽象的概念の名称
"サクセッサー" :=> a model of Successor
"サクセッサー" :=> the s of (a model of Successor)
"サクセッサー" :=> the s of (the model NatSucc of Successor)
"プレデセッサー" :=> the p of (a model of Successor)
"プレデセッサー" :=> the p of (the model NatSucc of Successor)
}抽象的概念の名称は、Peano とでもしておいたほうが良かったかも知れないが、次がオーバーロードされる例として Successor にした。
- 抽象的に定義された構造の名前（一般名）
- 抽象的な構造の構成素の名前（名前空間を持つ一般名）
- 抽象的な構造のモデルの構成素の名前（相対的固有名になる）
- 抽象的な構造の特定されたモデルの構成素の名前（絶対的固有名になる）
プログラミングとのアナロジーで言えば：
- インターフェイスの名前
- インターフェイス内の型やメソッドの名前
- インターフェイスの実装一般について語るときのメタ構文の一部
- 具体的な実装に備わる具体的な型やメソッドの名前
さらに、次のような言い回しも使う。
- s は X 上のサクセッサー
- X はサクセッサー s を持つ。
- p は サクセッサー s に対するプレデセッサーである。
- サクセッサーはプレデセッサーを持つ。
サクセッサー構造（指標 Successor で定義される構造）が重要なのは、無限集合の特徴付けに使えること。
- 集合 X 上にサクセッサー構造が存在する ⇒ 集合 X は無限集合
待遇をとれば：
- 集合 X は有限集合 ⇒ X 上にサクセッサー構造が存在しない
逆向きの命題：
- 集合 X は無限集合 ⇒ 集合 X 上にサクセッサー構造が存在する
も言える。次の事実を使えばよい。
- 集合 $`{\bf N}`$ 上にサクセッサー構造が存在する。
- 任意の無限集合は $`{\bf N}`$ と同型な部分集合を持つ。
