レベルkの同型、主に k = 2

uok

\newcommand{\eqv}{\overset{\sim}{\equiv}} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1} } \newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow } \newcommand{\In}{\text{ in } } \newcommand{\id}{\mathrm{id} } \newcommand{\Id}{\mathrm{Id} } \newcommand{\h}{\mathrm{h} } \newcommand{\twoTo}{\Rightarrow }

レベル 慣用的な記号 汎用性がある記号 言い方
0 = \cong_0 同じ
1 \cong \cong_1 同型
2 \eqv \cong_2 同値
3 ？ \cong_3 ？
k ？ \cong_k k-同型

注意： 「同じ／同型／同値」は「0-同型／1-同型／2-同型」の同義語であり、この「同値」は一般的な同値関係の意味ではない。「同じ／同型／同値」はどれも同値関係。その他、用語法・記法は不整合が多い。

  • モノの集まり（巨大でもいい）があるとき、それらのモノを分類する。
  • x \cong_k y のとき同類とみなす。
    1. x = y のとき同類とみなす。同じ〈0-同型〉なら同類とみなす。（同じものしか同類とみなさない。）
    2. x \cong y のとき同類とみなす。同型〈1-同型〉なら同類とみなす。
    3. x \eqv y のとき同類とみなす。同値〈2-同型〉なら同類とみなす。

テーマ： 同型〈1-同型〉や同値〈2-同型〉でモノを分類してみる、つまり商集合を求める。モノの集まりは、圏 \cat{C} の対象の集合 |\cat{C}|、巨大集合〈large set〉でもよい。実のところ、分類はたいてい無理。2-同型は散発的な事例に留まる。

1-同型

\quad A \cong B \In \cat{C}\\ :\Iff \exists\, f:A \to B, g : B\to A \In \cat{C}.\, \\ \qquad g\circ f = \id_A \\ \qquad \land \\ \qquad f\circ g = \id_B

1-同型による分類：

  1. |{\bf Set}|/\cong
  2. |{\bf FinSet}|/\cong
  3. |{\bf Vect}_{\bf R}|/\cong
  4. |{\bf FdVect}_{\bf R}|/\cong
  5. |{\bf Top}|/\cong
  6. |(1次元境界なしコンパクト多様体の圏)|/\cong
  7. |(多様体 M 上の有限階数ベクトル束の圏)|/\cong

たいていのケースで、絶望的に難しい。

2-同型 定義

定義で既にめんどくさい。

\quad A \eqv B \In \cat{K}\\ :\Iff \exists\, f:A \to B, g : B\to A \In \cat{K}.\, \\ \qquad g\circ f \cong \id_A \In \cat{K}(A, A)\\ \qquad \land \\ \qquad f\circ g \cong \id_B \In \cat{K}(B, B)\\

\quad g\circ f \cong \id_A \In \cat{K}(A, A)\\ :\Iff \exists\, \alpha: g\circ f \to \id_A, \beta : \id_A\to g\circ f \In \cat{K}(A, A).\, \\ \qquad \beta \circ \alpha = \id_{\id_A} \\ \qquad \land\\ \qquad \alpha \circ \beta = \id_{g\circ f}\\ :\Iff \exists\, \alpha:: g\circ f \twoTo \id_A: A \to A, \beta :: \id_A\twoTo g\circ f :A \to A \In \cat{K}.\, \\ \qquad \beta \bullet \alpha = \Id_{\id_A} \\ \qquad \land\\ \qquad \alpha \bullet \beta = \Id_{g\circ f}

ここで、\beta \circ \alpha はホム1-圏 \cat{K}(A, A) 内での1-射の結合、\beta \bullet \alpha は2-圏 \cat{K} 内での2-射の縦結合。\Id は2-圏の1-射に対する恒等2-射。

ちなみに、k-同型まで定義されていて、(k + 1)-同型は：

\quad A \cong_{k + 1} B \In \cat{K}\\ :\Iff \exists\, f:A \to B, g : B\to A \In \cat{K}.\, \\ \qquad g\circ f \cong_k \id_A \In \cat{K}(A, A)\\ \qquad \land \\ \qquad f\circ g \cong_k \id_B \In \cat{K}(B, B)

2-同型 事例
圏論 ホモトピー論 確率論
全体 {\bf Cat} \h({\bf Top}) {\bf PS}
1-同型 圏同型 位相同型 確率空間が同型
2-同型 圏同値 ホモトピー同値 ？

だいぶ前にK先生から出た話題：

A strengthened version of Cromwell's rule, applying also to statements of arithmetic and logic, alters the first rule of probability, or the convexity rule, 0 ≤ Pr(A) ≤ 1, to 0 < Pr(A) < 1.

確率空間の2-同型である程度は合理化できる。

「線形代数は行列計算できれば大丈夫」も圏の2-同型＝圏同値である程度は合理化できる。

ホモトピー関係〈homotopic〉は連続写像の空間の同値関係で、それによりホモトピー同値〈homotopy equivalence〉が定義される。